D1-2数列的极限函数的极限

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1、1.邻域:复习3.复合函数2.点a的去心的邻域:分解方法：从外到内.4.基本初等函数和初等函数(应认识).1第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限2回顾：1.数列的定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).2.数列的分类:33.数列极限的描述性定义：收敛趋势不定发散当n无限增大时,如果数列{xn}的项xn无限接近于常4问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?由于只要只要只要5一、数列极限的精确性定义定义：如果数列没有极限,就说数列是发散的.表示每一个或任给的；表示

2、至少有一个或存在.6注意：73.几何解释:至多有有限个点：有无限个点：当n>N时，只有有限个(至多只有N个)落在其外.结论：对数列增删有限项,不影响数列极限的存在性,也不影响极限值.8例1.证：故9例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故也可由取101)N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:2)用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N.3)解析法的步骤：11例3.证:两边取自然对数得取12二、收敛数列的性质1.极限的唯一性则它的极限唯一.定理1如果数列收敛，证：用反证法假设同时有且则使得当恒有恒有满足的不等式矛盾,

3、因此收敛数列的极限必唯一.故假设不真!13例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.14定理2如果数列收敛，则该数列一定有界.证：由定义,2.收敛数列的有界性15说明:例如,虽有界但不收敛.数列即：数列有界是数列收敛的必要条件.3)逆否命题：无界数列必定发散.注意：有界数列不一定收敛，但收敛必有界.2)此性质的逆命题不一定成立.即有界数列不一定收敛.163.收敛数列的保号性定理3证：由定义,同理

4、可证的情况.推论从某项起有(或局部保号性实际是保号性定理的逆否命题.则(或174.收敛数列与子数列的关系子数列定义：在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).例如，定理418说明：例如，发散!19三、极限的存在准则1.夹逼准则(P50)证：则使得由条件(1)准则Ⅰ:20例5.证明证:利用夹逼准则.且由于(P57题4(2))21准则Ⅱ：单调有界数列必有极限(P52)(证明略)2.单调有界准则22证：(舍去)的极限存在.例6.证明数列23内容小结1.数列极限的“–N”定

5、义及应用(证明极限)2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;收敛数列与子数列的关系.3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则.作业:P564(1)(3)预习:P31-P3724思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个极限不存在的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处25复习2.收敛数列的性质：(1)极限唯一性;如果将n换为x，则成为函数那么当等过程下，……26第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变

6、量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限三、函数极限的性质27一、自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数y=22829时函数的极限定义1：记为：则有：注意：该定义与数列极限的定义中的区别：30定义1：记为：定义2：记为：时函数的极限则有：时函数的极限定义3：记为：31从定义中得到：定理1：则有：不存在.32几何解释当x<-X或x>X时，函数y=f(x)的图形完全落在以直线y=A为中心线，宽为的带形区域内.(2)直线y=A为曲线的水平渐近线.(1)极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:33例1.证:水平渐近线.34观察图

7、像二、自变量趋向有限值时函数的极限xyo24xyo1235定义1：定义2：定义3：定理2.36注意：定理2.37函数极限的几何意义A极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:38例1.证明分析：函数在处无定义，但这与函数在该点是否有极限并无关系.当时，要使证:39例2.证明分析：当时，证:要使只需取只要就有注:40解：例3.xyo1-1定理2.41证:例4.验证不存在.(P38T4)经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限.42解:即xy1-1o例5.思考:若极限存在,是否一定有43三、函数极

8、限的性质1.唯一性定理1：2.有界性定理2：证：则对于恒有成立.这时443.保号性定理3:推论1.我们省去以上定理的证明，但是以后我们经常用到他们,请同学们熟记.推论2.思考:若推论1中的条件改为是否必有不能!如454.函数极限与数列极限的关系定理