数学与人类进步(1)

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1、数学史上的几大奇观一、尺规作图问题所谓尺规作图是指：仅用（无刻度）直尺及圆规作几何图形。如我们都会作线段的中点。1、正多边形的尺规作图正多边形有：正三边形、正四边形、正五边形、正六边形、正七边形等。（易、稍难、难、非常难）正七边形难作，至今未解，两千余年。17世纪，法国数学家费尔玛在研究数论时曾猜测形如的数是素数。人们称其为费尔玛素数。人们发现均为素数，惯性使人们认为费尔玛的猜测是正确的，结果过不长时间，瑞士数学家欧拉（Euler)便发现不是素数。接下来下边的都不是人们猜测形如的素数仅又有限个。可见费尔玛的猜测是错误的。对这个错误猜测究竟应如何去看呢？它会对人们有什么样的启发和帮助呢

2、？德国数学家高斯(Gauss)发现正边形可尺规作图的是费尔玛素数。7不是费尔玛素数。17是费尔玛素数，正17边形可用尺规作图。高斯由于成功解决这个问题而名闻天下。19世纪德国哥廷根大学一位教授成功作出257边形。2、三大几何难题（一）圆化方问题：求作一正方形使其面积等于一个已知圆的面积。已知圆的半径，且为已知。为所求作正方形的边长，为所要求的。实质：作一条长度为的线段（已知单位）有办法吗？(二）三等分角问题：已知一个角（形），以该角顶点为始点作两条射线，这两条射线分已知角成三等分。是已知角是所求作的射线结论：（三）倍立方问题：求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积的2倍。注意：尺

3、规作图的要求是运用圆规和无刻度的直尺经过有限步骤完成作图。如果已知长度为1的线段，我们通过尺规可以作能用尺规作图作出的量称为“可作几何量”。通常有理数经过：加、减、乘、除和开平方运算后仍然是可作几何量。是不可作几何量。，三个问题的本质是（一）尺规作一条长度为的线段（三）尺规作一条长度为的线段（二）尺规作出的量其中（二）是以对角为例，这一特殊情况来说明问题。将代入三大问题不可求解是不可作几何量。二、解析几何与微积分的诞生（一）解析几何1619年，笛卡儿研究“帕波斯问题”：法国数学家笛卡儿(Descartes1596—1650)平面上给定5条直线和动点，过点向这5条直线分别作线段分别在上

4、，且与的夹角为是事先任意指定的，要求其中是事先指定的正数。求点的轨迹。这个问题引发了笛卡儿建立坐标系，且把几何问题的重要契机之一。化成代数方程的想法，这个问题是引发解析几何诞生例如当且设依次相距如图设，则欲使应有即笛卡儿的数学格言：“一切问题可以化成数学问题，一切数学问题可以化成代数问题一切代数问题可以化成方程求解问题”1、数与形关联、变量的引入、图形看成动点的轨迹2、坐标系的建立；平面、空间点的位置3、代数与几何的结合形成解析几何笛卡儿的思想和工作使得例、已知两线段，尺规作比例中项长线段短线段长线段上取使等于短线段，再以为直径画圆，作的垂线交圆于连接，即为所作。这时然后过设，记则有

5、是方程之根。（二）微积分微积分诞生在17世纪，当然不是偶然的。当时的政治、经济和社会发展给予了数学以巨大的推动。十五世纪，在古希腊文明沉睡了很久之后，欧洲开始了文艺复兴，许多难民带着希腊文化流入意大利。人类发现了美洲大陆，完成了环球航行，商业、航海、天文、和测量等活动日益繁荣，促进了流体力学、天体力学几何光学以及天文仪器和光学仪器的研究。16世纪，欧洲出现了毛瑟自动枪和火炮，枪炮的使用，激发了运动学（如抛体运动规律）和动力学（如力与速度、加速度）的研究。这一时期求面积、求体积、求速度、求加速度、求行程等已经迫不急待地提到数学家的面前，强烈要求给出有理有据的成型的计算方法。17世纪初，

6、很多数学家为微积分的登场作了大量的铺垫和前期准备工作。17世纪后半叶，英国数学家牛顿（Newton1642—1727）及德国数学家莱布尼茨（Leibniz1646---1716）在总结了前人工作的牛顿是从力学、运动学角度建立微积分的；是而莱布尼茨从几何背景出发建立微积分的。基础上分别独立的发明了微积分。微积分诞生的主要标志是微积分基本定理的建立这个定理表明微分与积分是互为逆运算的；是其本身。的积分的微分微分形式；积分形式微积分诞生的伟大意义1、对数学自身的作用2、对其它自然科学和工程技术的影响3、对人类物质文明的影响4、对人类文化的影响1、对数学自身的作用（解析几何）与微积分的诞生，

7、开辟了变量数学时代，数学开始用于描述变化，运动。尽管微积分在产生之初还存在许多缺陷，但微积分提供的思维和作为工具能大量的解决实际问题，显示出强大的生命力。借助微积分，通过实际问题介入迅速产生许多新的数学分支如：微分方程、无穷级数、变分法、微分几何、复变函数等。近二、三百年数学空前发展，其实用效果逐渐扩大、层面提高。这些皆归功于微积分学，它的严密逻辑体系已于19世纪完善建立起来。这里法国数学家柯西（Cauchy1879---1857）的工作尤为突出。2、对其