运用二倍角公式解题的六技巧

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1、运用二倍角公式解题的五技巧二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。一、二倍角公式的直接运用例1若，，求的值。分析：由条件式两边平方，可求得的值。注意到，还需求的值，于是先求的值，然后开方，从而要进一步界定的范围。解：由两边平方得，所以。又，所以，，所以为钝角。所以，，所以，从而。点评：挖掘隐含得到为钝角是解题的一个重要环节。注意导出公式。二、二倍角公式的逆用例2求的值。解：。点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。三、二倍角公

2、式的连用例3求的值．分析：，，，联想二倍角的正弦公式，若逐步逆用将是一条通途．解：。点评：对形如的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式可知，即对于正弦之积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解．四、整体配对使用二倍角公式例4．求值：分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．解：设，构造则，因为，所以，即．点评：将已知式视为一个整体，然后构造一个与之对称的对偶式，通过联立这两个式子，求得原问题的解即为整体构造法．本题的值可求出，实质上是．五、二倍角公式的变用（升次或降次）二倍角公式的变用包括公式形式上的

3、变用（如将变为，；二倍角余弦公式变形得到升幂公式或得到降幂公式或；）和与诱导公式等结合的综合变用（如导出万能公式和半角公式等）．例5求值：解：原式六、整体思考运用二倍角公式诱导公式与二倍角公式结合可以导出：，。例6．已知，且，求的值．分析：若由展开后与联立并结合是可以求出和，但这样求解运算量是非常大的且容易出错．应将视为一个整体进行求解．解：因为，所以，所以．所以．．故原式．点评：在运用整体思想的条件下，要立足一个“变”字，善变则活．一是角的拆变，二是通过诱导公式实现角的变换而得到统一．要观察到，而想到利用诱导公式和倍角公式．例7．设，，求．分析：要把视

4、为一个整体，并注意到，需要利用诱导公式来实现转化．解：由，，得　　①　　　由，及二倍角的正弦公式得　　　②　　由②①得．