氢原子的薛定谔方程

《氢原子的薛定谔方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章氢原子与原子结构HydrogenAtomandstructureofAtom第一节氢原子的薛定谔方程第三节对薛定谔方程解的讨论第四节氦原子第五节Slater原子轨道第二节氢原子的薛定谔方程的解第六节原子光谱项第一节氢原子的薛定谔方程EquationofSchrödingerofHydrogenAtom一、直角坐标与球极坐标二、氢原子的薛定谔方程四、坐标变换（选学）三、变量分离原子结构问题是微观世界的问题第一章的讨论中我们知道，用量子力学方法处理微观体系的基本步骤是：提出物理模型建立波动方程求解波动方程微观体系根据体系的特点根据物理模型根据

2、方程及条件波函数ψ能级E探讨研究微观体系的性质我们知道，原子是由原子核及核外电子构成的。其中，氢原子是结构最简单的一种原子。我们还知道，原子核在氢原子的中央，电子在核外运动的概率密度呈球状。这样，用空间直角坐标系描述核外运动电子在某点的定位，显得不如球坐标方便。一、直角坐标与球极坐标ArightanglecoordinateandsphereCoordinateDescartes.Rene（1596-1650）法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的直角反射坐标系，称为空间直角坐标系又之称为笛卡

3、尔空间直角坐标系。1.直角坐标系ZYX0直角坐标系直角坐标系（x，y，z）对于空间某点P，在空间直角坐标系中可由三个坐标点（x，y，z）确定。即：Pxzy2.球极坐标系尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动某点的定位，却显得不便。于是人们通过坐标换算，建立了球极坐标、椭球坐标等系。例如，对于空间某点P的位置，用球极坐标可表示如下：ZYX0Pxzyrθφ球极坐标系r（r,θ,φ）xyz0r—0→∞θ—0→πφ—0→2π取值范围rθφ同理，在直角三角形⊿0Bx中：cosφ==斜邻0BxBx=OBcosφ3.球极坐标与直角坐标的

4、关系ZYX0Pxzyrθφ球极坐标与直角坐标r（r,θ,φ）（x，y，z）cosθ==斜邻z=rcosθ在直角三角形⊿0Pz中：rz即：邻斜对==sinθ=斜对由于，直角三角形⊿0Pz中：rzPr0B0B=rsinθx=0Bcosφ=rsinθcosφ则：sinφ==y0B斜对y=OBsinφ=rsinθsinφ则：在直角三角形⊿0Bx中：B对斜ZYX0Pxzyrθφ球极坐标与直角坐标r（r,θ,φ）（x，y，z）根据勾股定律得知：OB2=x2+y2r2=OB2+z2（三角形⊿0Bx）（三角形⊿0By）r=(x2+y2+z2)1/2勾股玄则：即

5、：x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθr=(x2+y2+z2)1/2二、氢原子的薛定谔方程EquationofSchrödingerofhydrogenatom1.波动方程Hψ=Eψ<（Hamiltonianoperator）H≡-▽2+Vh28π2m<其中：2mħ2=-▽2+V（Laplacianoperator）T=-▽2ħ22m>（Kineticenergyoperator）V=V>（Potentialenergyoperator）▽2≡++∂x2∂2∂y2∂2∂z2∂2+-r双质点体系模型2.物理模型如右图所示，氢

6、原子可看成是由1个原子核及1个核外电子构成的“双质点”体系；原子核与核外电子只存在静电吸引势能。建立氢原子的波动方程，关键是找出其波动方程Hamiltonian算符的具体形式。由其“双质点”体系模型中不难看出，其Hamiltonian算符应包含原子核及核外电子两种微粒动能算符和势能算符。即：H=-(▽p2+▽e2)+(Vp+Ve)ħ22m<3.氢原子的波动方程为了使问题简化，我们以原子核作为坐标原点，把原子核近似地看成相对固定不动，则氢原子的Hamiltonian算符可简化为：H=-▽2+Vħ22m

7、的运动时，可把原子核近似地看成相对固定不动，把原子核选作坐标系的原点。xyz+-e电子对核的相对运动1.电子对核作相对运动2.动能T（e）>>T（p）电子的动能原子核的动能经典物理学的动能Ek=mv212电子的运动“速度”>>核的运动“速度”。3.势能原子核的势能Vp=0若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的原点。则有：电子的势能Ve=V（核对电子的吸引势能）⑴Laplacianoperator的球坐标表示式通过前面的简化，氢原子的Hamiltonian算符变成了只是原子核外电子的Hamiltonian算符。H=-▽2+

8、Vħ22m<为了较方便地描述氢原子核外电子的运动状态，我们先将Laplacian算符进行球极坐标变换。根据前面直角坐标和球坐标的关系，Laplacia