薛定谔方程对氢原子的应用.doc

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1、薛定谔方程对氢原子的应用（一）氢原子的薛定谔方程前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与前一节有两点不同：（1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t）应换成ψ（x,y,z,t）或ψ（r,t）,而应换成▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符．（16.4.1）（2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能Ep表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下Œ郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版.程守洙、江之永

2、编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本.，见〔附录16D〕．（16.4.2）*（二）氢原子的定态薛定谔方程定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r,t）分离为空间部分u（r）和时间部分f（t），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E〕．（16.4.4）（16.4.5）ψ（r,t）=u（r）f（t），f（t）=C（16.4.3）(图16.4a)球极坐标氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕

3、核转动．其电势能可表成Ep=－e2/4πε0r．此势能Ep只与电子至氢核的距离r有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a）,O表氢核，e表电子，r为e至O的距离．θ为r与z轴的夹角，θ称天顶角或极角．为r在xOy平面的投影与x轴的夹角．故有x=rsinθcos；y=rsinθsin；z=rcosθ（16.4.6）拉氏算符改用球坐标（r,θ,）表示如下：Œ郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版.周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版.(16.4.7)将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到

4、以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程．*（三）氢原子薛定谔方程的定态解Ž郭敦仁编《数学物理方法》（第二版）237—246页，高等教育出版社1991年版.梁昆淼编《数学物理方法》（第二版）511—515页，人民教育出版社1978年版.上述用球坐标表示的氢原子薛定谔方程（16.4.4）与（16.4.7）中，其空间波函数u（r,θ,）,可按（16.4.3）式所述分离变数法，分离成三个部分如下：u（r,θ,）=R（r）H（θ）（）=R（r）Y（θ,）（16.4.8）Y（θ,）=H（θ）（）（16.4.9）R（r）是波函数中只含有径向距离r变量的部分，

5、可简称为径向波函数．H（θ）是波函数中只含有天顶角θ变量的部分，可简称为天顶角波函数．（）是波函数中只含有方位角变量的部分，可简称为方位角波函数．Y（θ,）是H（θ）与（）的乘积，可称为角度波函数．将（16.4.8）式的u（r,θ,）代入（16.4.4）式，便可将一个偏微分方程（16.4.4）分解成三个常微分方程，列举如下：（16.4.10）HH=0（16.4.11）（16.4.12）前一节分析一维运动自由粒子时，它的空间波函数u（x）只含一个变量x，从它的一个常微分方程（16.3.10）求解u（x）时，在（16.3.17）式中出现一个量子

6、数n.现在分析氢原子电子的三维运动，它的空间波函数u（r,θ,）含有三个变量．从上述三个常微分方程（16.4.10）至（16.4.12）求解R（r）、H（θ）、（）时，出现三个量子数，即主量子数n、角量子数（或称副量子数）l、磁量子数ml，列举如下：〔主量子数〕n=1,2,3,……（16.4.13）〔角量子数〕l=0,1,2,……,n-1.λl=l（l+1）（16.4.14）〔磁量子数〕ml=0,±1,±2,……±l（16.4.15）这些量子数的意义，在本节的下文逐步加以说明．求解波函数的R（r）、H（θ）、（）部分相当麻烦，这里只把量子数

7、较小的几个式子列出．其中Rnl（r）表示主量子数为n、角量子数为l的径向波函数R（r），而Ylm（θ,）表示角量数为l、磁量子数为ml的角度波函数Y（θ,）．〔径向波函数Rnl（r）举例〕n=1，l=0，（1s态，即基态），R10（r）=（16.4.16）n=2，l=0，（2s态），R20（r）=（16.4.17）n=2，l=1，（2p态），R21（r）=（16.4.18）上式中a=r1=5.29×10－11米，就是（15.5.5）式所说的玻尔第一半径．〔角度波函数Ylm（θ,）举例〕l=0（s态），ml=0，Y00（θ,）=（16.4.1

8、9）l=1（p态），ml=0，Y10（θ,）=（16.4.20）l=1（p态），ml=1或－1，（16.4.21）为了形象化地说明原子内电子的状态，1916年柯塞耳提出壳层分布的