高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析

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1、三反证法与放缩法1．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要

2、有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明不等式　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

3、f(1)

4、，f

5、(2)

6、，

7、f(3)

8、中至少有一个不小于.　“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

9、f(1)

10、，

11、f(2)

12、，

13、f(3)

14、都小于，则

15、f(1)

16、＋2

17、f(2)

18、＋

19、f(3)

20、<2.而

21、f(1)

22、＋2

23、f(2)

24、

25、＋

26、f(3)

27、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴

28、f(1)

29、，

30、f(2)

31、，

32、f(3)

33、中至少有一个不小于.11(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：选D　“不全为0”是对“全为0”

34、的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列，∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d为公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)b.当a＝b时，－a＝－b，则有f(a

35、)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．故假设不成立．∴a(x＋y＋z)．　解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．11　＝≥＝≥x＋.同理可得：≥y＋，≥z＋，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)．(1)利

36、用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.当k＝1时，≤＜，当k＝2时，≤＜，…当k＝n时，≤＜.∴将以上n个不等式相加，得＝≤＋＋…＋＜＝1.5．设f(x)＝x2－x＋13，a

37、，b∈，求证：

38、f(a)－f(b)

39、<

40、a－b

41、.证明：

42、f(a)－f(b)

43、＝

44、a2－a－b2＋b

45、＝

46、(a－b)(a＋b－1)

47、＝

48、a－b

49、

50、a＋b－1

51、.11∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2，－1≤a＋b－1≤1，

52、a＋b－1

53、≤1.∴

54、f(a)－f(b)

55、≤

56、a－b

57、.课时跟踪检测(八)1．设a，b，c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C　必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不

58、同时大于零，则其中两个为