2017_2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法同步配套教学案新.

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1、三反证法与放缩法1.反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行止确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立,从而证明原命题成立.(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立.2.放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式屮的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的.(2)放缩法的理论依据有：①不等式的传递性；②等量加不等量

2、为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.对应学生用书P24♦点一利用反证法证明不等式［例1］己知f(x)=x+px+q.求证:(l)f(l)+f(3)—2f(2)=2；(2)

3、ADI，M(2)

4、,

5、A3)

6、中至少有一个不小于*［思路点拨］“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”.［证明］(l)f(l)+f(3)—2f(2)=(1+q+q)+(9+3/?+q)—2(4+2/?+q)=2.(2)假设

7、Al)I，IA2)

8、,

9、A3)

10、都小于*,则

11、A1)I+2

12、A2)I+

13、A3)

14、<2.而

15、A1)I+2

16、r(2

17、)

18、+

19、A3)Iaf(l)+f(3)-2f(2)=2矛盾，AIAl)I，

20、A2)

21、,IA3)

22、中至少有一个不小于g［方法・规律・小结］——⑴反证法适用范圉：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法.如证明屮含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式.(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用."%%題他臬轲7〃〃1.实数/b,c不全为0的等价条件为()A.b,c均不为0B.日，b,c中至多有一个为0C.日，b,c屮至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0

23、解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”.答案：D2•证明：三个互不相等的正数白，b,c成等差数列，则白，b,c不可能成等比数列.证明：假设臼，b,c成等比数列，则l}=ac,又・・•日，b,c成等差数列:.a=b—d,c=b+其中d公差).ac=I)={b—d)(b+d).I)=&—(}.=0,・・.d=0.这与已知中a,b,c互不相等矛盾.・・・假设不成立・・・」,b,c不可能成等比数列.1.已知函数y=f{^在R上是增函数，且f(&)+f(—m〈f3)+f(—R,求证：a

24、〉方.当a=b时，—a=—b则有f{a)=f(H),f(—日)=f(—力)，于是f(a)=f(H)+/'（—日）与己知矛盾.当日＞力时，一日〈一方，由函数y=f{x）的单调性可得/（5）＞/'（/?）,f{—6）—a）,于是有代臼）+代一方）＞代方）+代一臼）与己知矛盾.故假设不成立.•Ia＜b.利用放缩法证明不等式［例2］已知实数％,y,z不全为零.求证：y］x+xy+y+yy+yz+z+寸才+zx+#＞

25、（卄y+z）.［思路点拨］解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明.［证明］yjx+xy+y同理可得：心+yz+z空y+f,yfz+z

26、x+x2z+扌,由于ry,z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得:+(z+》=

27、d+y+z).yjx+xy+y+yjy+yz+z2+y/z+zx+x')^x+^+f)［方法・规律・小结］、（1）利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及己知条件（条件不等式），审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.（2）-定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式屮一些正项或负项，或者在分式屮放大或缩小分子、分母，或者把和式屮各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.1

28、.设刀是正整数，求证：兀占+忌+•••+存1・证明：由2n^n+k>n{k=1,2,…，n),得棊1n+k当&=1时，右WVyv丄;2刀刀十1n当k=2时，右丄;2/1刀十2n当Q”时,棊*弓•••将以上刀个不等式相加得:2.设f(x)=#—x+13,日，Z?e[0,1],求证:f(a)—f(力)

29、<

30、日一Z?

31、.证明：If(a)—f(方)

32、=a—a—l}+b—

33、(

34、=

35、a~b

36、a+b—1

37、TOW臼Wl,OWbWl・・・0W白+Z?W2,—1W曰+方一1W1,

38、a+b—1

39、W1.:.f(a)-f(H)^a-

40、b.1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数（）A.两个都是偶数B.一个是奇数，一个是偶数C.至少一个是偶