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《2017-2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案(含解析)新》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三反证法与放缩法1.不等式的证明方法一一反证法(1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,然后由此假设出发,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或己证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立.(2)反证法证明不等式的一般步骤:①假设命题不成立;②依据假设推理论证;③推出矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立.2.不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义:证明不等式时,通常把不等式屮的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.(2)放缩法的理论依据主要冇
2、:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.利用反证法证明不等式已知f{x)=x+px+<7,求证:(l)f(l)+f(3)—2f(2)=2;(2)
3、Al)I,/I⑵I,IH3)
4、中至少有一个不小于*.“不小于”的反而是“小于”,“至少有一个”的反面是“一个也没有”.(1)r(l)+A3)-2/(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)一2(4+2p+q)=2.(2)假设
5、Al)hIA2)I,IA3)I都小于*,则
6、r(l)
7、+2
8、A2)l+IA3)
9、<2.而
10、Al)I+21A2)
11、+
12、A3)
13、⑴+A3)-2A2)
14、=2矛盾,.-.
15、f(l)
16、,IA2)I,IA3)
17、中至少有一个不小于*.[方法・规律・小结](1)反证法适用范围:凡涉及不等式为否定性命题,唯一性、存在性命题可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式.(2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用.〃〃仇龜就*^//////1.实数/b,c不全为0的等价条件为()A.日,方,c均不为0B.日,b,c屮至多有一个为0C.日,b,c中至少有一个为0D.a,方,q中至少有一个不为0解析:选D“不全为0”是对“全为0”的否定,与其
18、等价的是“至少有一个不为0”.2•证明:三个互不相等的正数自,b,c成等差数列,则白,b,c不可能成等比数列.证明:假设臼,b,c成等比数列,则E=ac.又・・・日,b,c成等差数列,:・a=b_d,c=b+(其中d为公差).ac=I)=(b—d)(b+d).:.b2=b2~J.・・・d=0,.•・〃=0.这与已知中白,b,c互不相等矛盾.・・・假设不成立.・・・曰,b,c不可能成等比数列.1.己知函数y=f(x)在*上是增函数,且——曰),求证:a方.当a=b时,—g=—b,则有£($)=£(/?),f{~a)=/'
19、(—/?),于是f(m)+£(—/?)=£(力)+/(—5),与己知矛盾.当臼>b吋,一水一方,由函数y=f(x)的单调性可得fQ)>f(Z?),f(—Z?)>f(—臼),于是有f(臼)+广(一〃)>f(方)+f(—自),与已知矛盾.故假设不成立.b.利用放缩法证明不等式己知实数必y,z不全为零.求证:解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明.2/(x+令十+界吨同理可得:心+yz+z空y+f,yfz+zx+x2z+扌,由于ry,z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式相加,得yjx+xy+y+yz+z+y/z+zx+x>3=-(x+y+z
20、).[方法•规律•小结](1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地采取措施,进行恰当的放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.(2)—定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉式屮些正项或负项,或者在分式屮放大或缩小分子、分母,或者把和式屮各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.〃/〃‘題他缩^//////4・设门是正整数,求证:莽计?+齐廿舟证明:由2n^n+k>n{k=y2,…,刀),得丄.2/?n-~kn当a=i时,右w丄,2/7n~v1n当k=2时,丄,2/?刀十2刀
21、当k=n时,右冬一一<丄.2n刀十刀刀•••将以上”个不等式相加,得苏器士^治+…十苏鬥.5.设代丸)=#—x+13,a,bw,求证:If{a)—/(/?)
22、<
23、a~b.证明:
24、fa)I=
25、a—a—I)+b=
26、(a—6)(a+b—1)
27、=
28、a—b\a+b—11.•・・OWmWl,OW/29、臼+/?—1
30、W1.课时跟踪检测(八)1.设臼,b,QWR+,p=a+b-c,Q=b+c~a,R=c+a—b,贝7“PQR>0'是“P,Q、斤同时大于零”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不
31、充分也不必