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《2017-2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案（含解析）新》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三反证法与放缩法1.不等式的证明方法一一反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件(或己证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立,从而证明原命题成立.(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立.2.不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义:证明不等式时，通常把不等式屮的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的.(2)放缩法的理论依据主要冇
2、：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.利用反证法证明不等式已知f{x)=x+px+<7，求证：(l)f(l)+f(3)—2f(2)=2；(2)
3、Al)I，/I⑵I，IH3)
4、中至少有一个不小于*.“不小于”的反而是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”.(1)r(l)+A3)-2/(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)一2(4+2p+q)=2.(2)假设
5、Al)hIA2)I,IA3)I都小于*,则
6、r(l)
7、+2
8、A2)l+IA3)
9、<2.而
10、Al)I+21A2)
11、+
12、A3)
13、⑴+A3)-2A2)
14、=2矛盾，.-.
15、f(l)
16、,IA2)I,IA3)
17、中至少有一个不小于*.［方法・规律・小结］(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式.(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用.〃〃仇龜就*^//////1.实数/b,c不全为0的等价条件为()A.日，方，c均不为0B.日，b,c屮至多有一个为0C.日，b,c中至少有一个为0D.a,方，q中至少有一个不为0解析:选D“不全为0”是对“全为0”的否定，与其
18、等价的是“至少有一个不为0”.2•证明：三个互不相等的正数自，b,c成等差数列，则白，b,c不可能成等比数列.证明：假设臼，b,c成等比数列，则E=ac.又・・・日，b,c成等差数列，:・a=b_d,c=b+方.当a=b时，—g=—b,则有£($)=£(/?),f{~a)=/'
19、(—/?),于是f(m)+£(—/?)=£(力)+/(—5),与己知矛盾.当臼>b吋，一水一方，由函数y=f(x)的单调性可得fQ)>f(Z?),f(—Z?)>f(—臼)，于是有f(臼)+广(一〃)>f(方)+f(—自)，与已知矛盾.故假设不成立.b.利用放缩法证明不等式己知实数必y,z不全为零.求证:解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明.2/(x+令十+界吨同理可得：心+yz+z空y+f,yfz+zx+x2z+扌,由于ry,z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得yjx+xy+y+yz+z+y/z+zx+x>3=-(x+y+z
20、).［方法•规律•小结］(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.(2)—定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式屮些正项或负项，或者在分式屮放大或缩小分子、分母，或者把和式屮各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.〃/〃‘題他缩^//////4・设门是正整数，求证：莽计?+齐廿舟证明：由2n^n+k>n{k=y2,…，刀)，得丄.2/?n-~kn当a=i时，右w丄，2/7n~v1n当k=2时，丄，2/?刀十2刀
21、当k=n时，右冬一一<丄.2n刀十刀刀•••将以上”个不等式相加，得苏器士^治+…十苏鬥.5.设代丸)=#—x+13,a,bw,求证：If{a)—/(/?)
22、<
23、a~b.证明：
24、fa)I=
25、a—a—I)+b=
26、(a—6)(a+b—1)
27、=
28、a—b\a+b—11.•・・OWmWl,OW/29、臼+/?—1
30、W1.课时跟踪检测（八）1.设臼，b,QWR+,p=a+b-c,Q=b+c~a,R=c+a—b,贝7“PQR>0'是“P,Q、斤同时大于零”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不
31、充分也不必
