高中数学第二讲直线与园的位置关系五与圆有关的比例线段学案含解析

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1、五与圆有关的比例线段1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，

2、它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图，⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.相交弦定理　如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．10　连接OP.∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形

3、联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段长．解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为(32－x)cm.由相交弦定理得x(32－x)＝12×16，解得x＝8或24，故另一段长为32－8＝24(cm)或32－24＝8(cm)，所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm和24cm.2．如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM，PN的延长线分别交⊙O于Q，R.求证：PM·MQ＝PN·NR.⇒P

4、M·MQ＝PN·NR.切割线定理　如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.　(1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.10　(1)∵AB是⊙O的一条切线，ADE是⊙O的割线，∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.(2)由(1)得＝，又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.∴∠ADC＝∠ACE.又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形

5、结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．3.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为(　　)A.　　　　　　B．2C.D.解析：选B　设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E.求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，∠

6、ADE＝∠APD＋∠PAB，PE是∠APC的角平分线，所以∠EPC＝∠APD，10因为PA是⊙O的切线，所以∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.(2)⇒△PCE∽△PAD⇒＝.⇒△PAE∽△PBD⇒＝.PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝.故＝.又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.切线长定理　如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.　→→→→　∵EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴E

7、A⊥AB，FB⊥AB.∴EA∥FB.∴＝.∴＝.∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．105．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB等于(　　)A．90°　　　　　　　　B．60°C．45°D．30°解析：选B　如图，连接OO′，O′A.∵OA为⊙O′的切线，∴∠OAO′＝90°.又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，∴OO′＝2O′A.∴sin∠AOO′＝＝.∴∠AOO′