广东署山市高明区高二数学下学期第4周练习试题理

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1、高二理科数学第四周周三静校测试1．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD=1，D1D=λ（λ＞0），若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB，求实数λ的值．2．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求4的值，如果不存在，请说明理由．　4高二理科数学第四周周三静校测试答案1.解：如图，以点D

2、为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ），设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，因为A1P⊥PB，所以，即（﹣1，1，x﹣λ）•（﹣1，0，x）=0，化简得x2﹣λx+1=0，x∈[0，λ]，由点P（0，1，x）的唯一性知方程x2﹣λx+1=0只有唯一解，所以，判别式△=λ2﹣4=0，且λ＞0，解得λ=2．2．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分）又因为PA=PC，PB=PD，

3、所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．由△PAC是边长为2的等边三角形，，可得．所以．﹣﹣﹣﹣（5分）所以，．由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）4因为cos=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，所以

4、直线CP与平面BDF所成角的大小为30°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，﹣﹣﹣（12分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF．此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）4