08-3-1矩阵的初等变换

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组基本要求熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，知道矩阵的标准形与秩的关系理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解的充要条件熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．

2、内容丰富，难度较大.§3.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用①②①②方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置.显然交换B的第1行与第2行即得B1增广矩阵的比较例如③2③2显然把B的第3行乘以(1/2)即得B2方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过

3、程称为同解变换同解变换有把某个方程乘以一个非零数.例如增广矩阵的比较①2②①2②显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有某个方程的非零倍加到另一个方程上例如增广矩阵的比较线性方程组与其增广矩阵相互对应对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换方程组的同解变换与增广矩阵的关系同解变换有交换两个方程的位

4、置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去矩阵的初等变换这三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型的初等变换rirj(cicj)对调ij两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数kri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上初等变换的符号表示矩阵的等价关系如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价记作A~B

5、如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价记作A~Br如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价记作A~Bc等价关系的性质(i)反身性A~A(ii)对称性若A~B则B~A(iii)传递性若A~BB~C则A~C~~~~~r3r41121401110000261121402220055360334311214211122311236979r42r3矩阵初等变换举例r1r2r2r3r32r1r43r111214011100002600013r2

6、2r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵行最简形矩阵101040110300013000000000000013行阶梯矩阵特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵：各非零行首非零元素分布在不同列当有零行时，零行在矩阵的最下端行最简阶梯形矩阵：各非零行首非零元素皆为1各非零行首非零元素所在列的其他元素全为零例：把矩阵化成行阶梯形和行最简行阶梯矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵学生练习：把矩阵化

7、成行阶梯形和行最简行阶梯矩阵对行最简形矩阵再施以初等列变换可变成一种形状更简单的矩阵称为标准形其特点是左上角是一个单位矩阵其余元素全为0矩阵的标准形~c比如上述行最简形矩阵经初等列变换得~rr~~c因为有上述等价关系所以有同解线性方程组行最简形矩阵与线性方程组的解矩阵初等变换举例~rr~所有行等价的矩阵组成的一个集合集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的而且是最容易求解的行最简形矩阵与线性方程组的解