第八讲 根与系数的关系及其应用

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1、第八讲根与系数的关系及其应用　　　如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．　　1．已知一个根，求另一个根　　利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．　　例1方程(1998x)2-1997·1999x-

2、1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．　　解先求出a，b．　　由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达　　又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．　　所以a-b=1-(-1999)=2000．　　例2设a是给定的非零实数，解方程　　　解由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于　　　　　2．求根的代数式的值　　在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．　　例3

3、已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：　　　　(3)α3＋β3；(4)α3-β3．　　解由韦达定理知α+β=3，αβ=1．　　　　(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)　　　　　　　=(α+β)[(α+β)2-3αβ]　　　　　　　=3(9-3)=18；　　(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)　　　　　　=(α-β)[(α+β)2-αβ]　　　　　　　　例4设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．　　解因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即4α2=2

4、α＋3．4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．　　例5已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．　　解由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即α2=1-α，β2=1-β．　　　　　α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α　　　　　　=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α　　　　　　=-3(1-α)+2α=5α-3，　　　　　β3=β2·β=(1-β)β=β-β2　　　　　　=β-(1-β)=2β-1．所以　　　　　2α5+5β3=2

5、(5α-3)+5(2β-1)　　　　　　　　　=10(α+β)-11=-21．　　说明此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．　　例6设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．　　解设x1，x2是方程的两个实根，于是　所以　　　　　as3＋bs2＋cs1=0．　　说明本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再

6、介绍一种更为“本质”的解法．　　另解因为x1，x2是方程的两个实根，所以　同理　　　　　　　　　将上面两式相加便得as3＋bs2＋cs1＝0．　　3．与两根之比有关的问题　　例7如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k＋1)2ac．　　证设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得　　　　　　　　　即kb2＝(k＋1)2ac．　　例8已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2＝0　　解首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根

7、．由韦达定理知　　从上面两式中消去k，便得　　　　　　　　　　　即　　　　　　m2-6m+5=0，所以m1=1，m2=5．　　4．求作新的二次方程　　例9已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．　　解设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有故　　　所以，求作的方程是36x2-161x＋34=0．　　例10设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．　　(1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；　　

8、(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．解(1)由韦达定理知α+β=p，αβ=q，所以α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，α3·β3=(αβ)