穷竭法的历史及有关问题初探

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1、(自然科学版)辽宁师范大学学报JOURNALOFLIAONINGNORMALUNIVERSITY1990iNaturalSeieneeEdition11990年第期地穷竭法的历史及有关问题初探邵明湖(数学系),、,研究了穷竭法的历史探讨了它与极限积分等概念的关系认为穷竭法,;是一种基于潜无穷观的严格的数学证明方法是柯西极限理论的真正肇始它,。可以视为一种极简单的积分其思想早已渗透到了分析学中:、、、。关键词穷竭法无穷极限积分,研究主要数学方法的发展过程是数学史的主要任务之一这种研究将有助于我们了。tmethodofeao解数学知识增长的规律穷竭法(hex

2、hustin)¹是古希腊数学的几个重大。,成就之一它不仅使希腊数学家的一些工作建立在严格证明的基础上而且它一开始便。,与数学的核心概念无穷有着密切联系19世纪柯西将分析学建立在严格的基础上一;其工作的基本概念极限的思想萌芽便包含于穷竭法中而它的对几何图形分割求和—,、的形式既是积分的雏形其思想便是积分的直接源泉试图完善发展它的种种努力。—。导致了积分学的诞生和成长本文拟就其历史及有关问题做一探讨1穷竭法是严格的证明方法。。穷竭法的严格性即使在今天看来也是无可挑剔的这对希腊数学家来说尤为可贵,。事实上严格正是希腊几何学的精神:“”的逼近程穷竭法所完成的证明

3、一般可分为两个步骤首先是一个可称之为穷竭,a”ouereuetoaasur。,序然后用双重归谬法(dbldidbdum)完成证明作为例子我们来看一个简单命题的证明。。命题两圆(面积)之比等于它们直径的平方之比川:,其证明过程可如下叙述在圆内作内接正方形(正方形大于圆的一半是显然的)BC,然后将正方形边数加倍得正八边形(如图)由于△A是口ABDE之一半△ABC大于弓形BC,,A的一半所以四个弓形上的三角形之和大于四个弓形的一半即正八边形不仅,。包含正方形而且包含了圆与正方形面积之差的一半以上照此又可将正八边形边数加。本文于1988年9月15日收到“”,。e

4、¹亦译穷举法文中不是此意该词最早出现于圣文森特的格雷戈里(GregoifedSaintVincent)。164了年的一本著作中,,倍得正十六边形它不仅包含了正八边形而且还包含。,了圆与正八边形之差的一半以上继续这一程序由欧B,几里得《几何原本》第X篇的命题1(参见本文第四节)就可以将圆和某一边数足够多的正多边形之差弄得比任。。何给定的量还小¹下面的证明用到双重归谬法:、,、。设s,是两圆(面积)dd’分别为其直径今欲s:s/=:2。,(人证少d,假若等式不成立则根据《几何原本》,“““,:“=:2,中一个关于第四比存在的公理º有使少d’。:“:,:“:产

5、其中<或>.:产,s,,/,工若sl,<我们在中进行上面的程序则有圆内接正多边形P使s,一P,s‘一sI’,51,,s,a<即同样可得出矛盾即sl,不大于s,、,。。综上I五必有sl’二s,故命题得证,,诚如我们从这一命题的证明中看到的穷竭法所运用的是逻辑的语言并没有提戴“”之类的无限分割容易模糊的概念(只要我们一想到芝诺

6、的有名的悖论便可体会到这、。,。一方法在当时是多么高明可贵)它在直观上是清晰的逻辑上是严密的因而人们。:“惊叹于它的严密可靠是不足为怪的数学史家克莱因说欧几里得在面积和体积方面、。”【21的工作(按指应用穷竭法)比牛顿莱布尼兹这方面的工作要严密可靠。然而欧几里得并不是穷竭法的创始人使穷竭法成为严格证明方法并最早用于数学,..,证明的是希腊数学家欧多克索斯(Eudoxus约生活于370BC)而溯其渊源则更为久。远2穷竭法溯源rsonrso,..,’”t3,,有说布里松(By或By450BC前后)曾用过穷竭一词但没有确切,「41。的证据没有一部古代可靠的权威

7、典籍曾将他的名字与该方法联系起来辛普利休斯se,non,..(impliius公元6世纪前半叶)曾描述过智人学派的安蒂丰(Atiph约430BC),,。化圆为方的努力说他在圆内作一内接正多边形然后将边数加倍得另一正多边形继,,“当面积被穷竭时,续此程序则圆与正多边形之间的面积就越来越小他说他就用这,;种方法在圆内内接了一个正多边形其边与圆弧相合一致(因为他们很小)由于我们,,,可以作与任何正多边形相等的正方形⋯⋯因为多边形已经作得相合于圆我们将也。”(Si‘5]能得到一个与圆相等的正方形mphcius语)安蒂丰就这样认为自己解决了希腊,,,。¹在此过程中

8、如果我们认为是将正多边形从圆上割去那么圆的剩余部分可以弄得任意地小就是说圆似“”