高等数学课件 11章

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1、第五节一、近似计算二、微分方程的幂级数解法函数幂级数展开式的应用第十二章三、欧拉公式一、近似计算例1.计算的近似值,精确到解:例2.计算的近似值,使准确到解:已知故令得于是有用此式求ln2计算量大在上述展开式中取前四项,说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),例3.利用求误差.解:先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计(取例4.计算积分的近似值,精确到解:则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差例5.计算积分的近似值,精确到解:由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则

2、它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:二、微分方程的幂级数解法代入原方程,比较同次幂系数可定常数由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法1.一阶微分方程的情形例6.解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为2.二阶齐次线性微分方程问题定理:则在－R

3、一个特解.解:设特解为代入原方程整理得比较系数得:可任意取值,因是求特解,故取从而得当n>4时,因此注意到:此题的上述特解即为三、欧拉(Euler)公式则称③收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数③绝对收敛则称③绝对收敛.由于,故知欧拉定义:复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则欧拉据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有第六节作业P2911(1),(3);2(2)；3(1),(

4、3);4(2)第七节备用题1.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.(2002考研)解:(1)所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为代入初始条件可得故所求级数的和2.解:求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,故方程满足定理条件.设方程的解为代入④:④因方程特点,不用将P,Q进行展开定理整理后得:比较系数,得例如:于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性

5、无关特解.欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.