信号与系统周期信号的傅立叶级数展开

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1、§4.2周期信号的傅立叶级数展开周期信号:定义在区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。它可表示为f(t)=f(t+mT)周期信号其中m为整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。周期信号的特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为周期信号（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成，则周期信号可以写成（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有正交性:（m和n都是整数）三角函数形式的傅立叶级数三角函数集在区间内是一完备正交函数集。三角函数形式的傅立叶级数满足一定条件的周期函数可用三角函数集表示为狄里赫利条件称为傅立叶系数三角形

2、式的傅立叶级数还可以写成下面形式两种形式之间系数有如下关系:或三角函数形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数其中直流分量：基波：二次谐波：依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量的线性组合。。根据前面的傅立叶系数公式知道：是n的偶函数，是n的奇函数。是n的偶函数，是n的奇函数。三角函数形式的傅立叶级数关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。幅度频率特性和相位频率特性三角函数形式的傅立叶级数例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数解：

3、直接代入公式有三角函数形式的傅立叶级数直接代入公式有三角函数形式的傅立叶级数所以有三角函数形式的傅立叶级数例求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为直流基波谐波三角函数形式的傅立叶级数正交性:（m和n都是整数）指数函数集在区间内也是一完备正交函数集。指数函数形式的傅立叶级数当是一个完备的正交函数集。式中称为傅立叶系数，是复数。周期信号，周期为，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数其中指数函数形式的傅立叶级数分量的频率是，而分量的频率是。除了直流分量，单独一个不能构成物理上一个谐波分量，必须是对称的两个分量和才构成物

4、理上的一个谐波分量。在三角形式的傅立叶级数中，系数中的下标变量取值范围为，在复指数形式的傅立叶级数中，系数中的下标变量取值范围是指数函数形式的傅立叶级数负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有确切的物理含义。三角形式的傅里叶级数物理含义明确，而指数形式的傅里叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。两种形式傅立叶级数中系数的关系:两种级数之间的关系利用欧拉公式两种级数之间的关系是复数例：将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有所以指数函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数（总结）称为傅立叶系数三角形式的傅立叶级数其中直流分量：基波：二次谐

5、波：依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量之和。。三角函数形式的傅立叶级数（总结）式中称为傅立叶系数，是复数。周期信号，周期为，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数其中指数函数形式的傅立叶级数（总结）傅里叶级数系数之间的关系一般来说，一个周期信号的傅里叶系数，或者说它的频谱跟信号的波形有如下关系(1)傅里叶级数所取项数愈多，相加后波形愈逼近原信号(2)当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部，波形变化愈剧烈，包含的高频分

6、量愈丰富；变化愈缓慢，包含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。P87图4-2-2用有限项来逼近函数，则称为部分和。在不连续点附近，部分和有起伏，其峰值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小保持不变而趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9。这种现象叫吉伯斯(J.Gibbs)现象。吉布斯现象（有限项傅立叶级数）1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。周期信号的频谱在傅立叶分析中，把各个分量的幅度或随

7、频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。而把各个分量的相位或随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。；；；；知道了信号的频谱，也就知道了原来的信号本身，信号的频谱是信号的另一种表示，信号的频谱提供了从另一个角度来观察和分析信号的途径。周期信号的频谱三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，而指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。周期信号的频谱实际上就是它的直流、基波、以及各个谐波分量的幅