特殊值法在高中数学解题中的应用

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1、!//,年&月湖南第一师范学报9:$BG!//,第,卷第!期9*:;$#)"*<"=>;?@7AB#CDB;?7E*))B+B7*<7F:$#$H*)G,77I*G!“特殊值法”在高中数学解题中的应用易兰桂（湖南长沙雅礼中学，湖南长沙8-///J）摘要：适当选取包含于题目之中的某个特殊值，通过简单的运算、推理或验证，能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到减缩思维过程、降低推算难度的目的。关键词：特殊值；特殊函数；特殊数列；特殊图形中图分类号：K&,,G&77777文献标识码：L77777文章编号：-&J-28,&(（!//,）/!2//J/2/,解数学题时，如果直接解原题有

2、时难以入手，不妨先考71#56$34$3#56481#56$3#56434$)$)$44察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到解决91#5643#56$34$:14$3#56$3#564$))$44原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特分析：直接找这三数之间的关系不易，但让4、$取特殊殊值法”。))值，其大小关系就非常明显了。令4;—，$;—，则#56)$;.,4著名数学家希尔伯特!"#$%&’()*+,—)-./0曾说：“在讨)))$),)论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作#56.—,32，#56$4;#56)—.;,，4;（—.）;—

3、,。可知8、9、:,用。我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因，就在于这不对，故选7。样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有例!""在各项均为正数的等比数列｛#$｝中，若#%#&’(，完全解决，或是完全没有解决。这—切都有赖于找出这些比则)*+,#-.)*+,#!".⋯⋯.)*+,#-/的值为（）。较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念71),81)291*:1),<#56/4=来解决它们”。分析：设4>;/，则立即知应选(80，这是典型的特殊值“特殊值法”解题的理论依据与逻辑基础是：若对一般法。因为数列/，/，⋯，/，⋯是满足题设条件的一个数列，所情

4、形成立，则对其中的特殊情形也成立；若某种特殊情形成以它具有这类数列的一切性质。用此法解这类选择题十分立，则一般情形不一定成立；若对某特殊情形不成立，则对奏效，但决不能用此法解解答题，否则就失去了一般性，犯一般情形也不成立。这是一个非常简单的原理。“特殊值了逻辑上的错误。法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值(或特殊情例,"已知0’")*+#1!2#34在5/，-6上是3的减函数，则#的形，如特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等0，通过简单取值范围是17"""""4。的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误71(2，)081()，,091(2，,0:1?,，<@

5、）的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的。用“特分析：因为4A2且4!#，则由函数为减函数可确定4的殊值法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空范围，排除干扰支。再取特殊值确定正确的选择支。事实上，题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果；在一些一般性的问BC;#564(,D4E0在?2，)F上是减函数，G4A)，可排除7、9；再题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，将4;,代入函数解析式得C;#56,（,D,E），定义域为(D@，)0，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作不满足在?2，)F上有定义的题设条件，又可排除:1故选8。用。下面举

6、例说明。例8"若（!3.!/）!’"#/.#-3.#!3!.#,3,.#838，则)1用“特殊值法”解选择题（#/.#!.#8）!2（#-.#,）!的值为（）。例)已知2343$3)，则4$、#564、#56$的大小关系$)71)81D)912:1,4是（）。收稿日期：,22,D2/D2+作者简介：易兰桂（)-+H—），男，湖南长沙人，湖南长沙雅礼中学一级教师。H2分析：将要求的式子化为（!"#!$#!%#!&#!’）（!"(!$#!%(—$；又取!*&，5*’，@*.，亦得I!E—-·I!E—9*—$。&%%&!&#!’）。)%L%由于所给的条件式是恒等式，故可取特殊值)*$

7、，得例$"K是椭圆—#—*$上的点，M$和M%是它的两G’!#!#!#!#!*（%#!&）%⋯⋯!，再取)*($得!(!#!("$%&’"$%个焦点，N是#K!#!*（%(!&）%⋯⋯"，!+"结果为$，,选-。&’M$M%的内心，KN例.定义在区间/(0，#01的奇函数2/)1为增函数，偶函的延长线交M$M%数3/)1在区间（"，#0）的图象与2/)1的图象重合。设!454"，于O，那么;KN;P给出下列不等式：;ON;CCCCCCC。!2/51(2/(!143/!1(3/(51，分析：由