特值法在解答题中的应用

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1、特值法在解答题中的应用安化二中数学组周昆平在解数学选择题、填空题时，有一种方法叫做特值（例）法。这种方法不能作为解答题的解题过程。尽管如此，我认为，这种方法仍然在解解答题中，有其独特的作用，如有些题不知如何下手，有些题不知选哪种方向为好，特值法就能为我们指引解题的方向或提供解题的方法。下面我从多年的教学经验中积累的一些粗浅的看法，举例说明如下：一、在函数解答题的应用：在判断函数的奇偶性时，有些比较复杂的题，利用函数的奇偶性的定义（或去证明，学生往往感觉推导有困难，难于与联系起来，如果利用奇偶性的定义的变形（和差法）或，觉得不知道选取哪一种，可能

2、导致走弯路。我想，这时我们用特值探路，就可以节省时间，起到事半功倍的效果。例1判断下列函数的奇偶性：（1）（2）间。分析：（1）∵1与-1都在定义域内，∴可先比较一下与的关系。∵∴函数可能是奇函数。故可考虑判断是否成立，若成立，则是奇函数，否则是非奇非偶函数。解答如下：∴函数是奇函数.6分析：(2)，同（1）解答如下：解：函数的定义域为，定义域关于原点对称。∴函数是偶函数。例2已知函数（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；分析：（1）函数的定义域为R，则不等式＞0的解集为R，∴△=得这个学生一

3、般不难理解，也比较熟练地得出来。但对于第（2）问的处理就感觉有点困难。分析：（2）函数的值域为R，在定义域内的最小值要小于或等于0，∴△=得或这个学生就有点难于理解了，其实这时我们如果也考虑特殊探路，就可明了解题的方向，帮助我们去理解。如时，△=-3＜0，而==，∴，此时的值域就不为R了。因此告诉我们这时就不能用△＜0求解了。6△≥0时，的最小值小于或等于0，就能保证真数对上的任意值都能取得到，也就能确保函数的值域为R。二、在数列题型上的应用：例3(2009年重庆高考第14题)．设，，，，则数列的通项公式=．w.w.w.k.s.5.u.c.o.

4、m分析：∵，，，∴由此我们可猜想数列的通项公式。这是作为填空题求做的，如果是解答题呢？那我们就可以根据上面的特例猜想的结论，可以想到的一般方法是：证明。解答如下：解:∵，，，∴故数列｛｝为等比数列，其中公比为2，易求得，∴数列的通项公式。例4已知数列{a中，a，（n∈N），且a=1，则数列{a的通项公式a=（）A.2·3B.2·3-5C.2·3+1D.2·3+1分析：本题作为选择题，我们可以取时，a=1，排除答案C、D，取时，a2=5，可排除答案B，故选答案A。但作为解答题呢？这种方法显然没有说服力。6注意观察.=2·3①，为一等比数列的通项公

5、式∴把式子①变为，从而可看出数列是等比数列，其中首项为2，公比为3，故可以考虑构造等比数列求解。解：∵a，∴，又a+1=2≠0，∴数列是等比数列，其中首项为2，公比为3。∴，即由此，我们还可以对形如“已知数列{a中，a，（n∈N，q≠1且q≠0,d≠0），且a=a的，求数列{a的通项公式a”的题型，总结一个一般的方法。特别值得提醒的是，近几年的高考试题中，屡见这种题型，有升温趋势。一般解法如下：设，则，比较系数有，得∴，①若，则数列｛｝为等比数列，其中首项为，公比为q.∴=（）×，即②若，则数列｛｝为常数列，且=0∴当然，特例探路，寻找解题方法

6、尤其在数列题型中的应用最为广泛，本身数学中“特殊—一般－证明”的方法，就已蕴含了这种基本想法。6三、在排列组合题型上的应用：例5（1）x1+x2+x3=5有几组正整数解？（2）x1+x2+x3=6有几组正整数解？分析：（1）∵x1、x2、x3都为正整数，∴x1、x2、x3可能有两种情况①一个为3，其余两个为1，这时有3组解②一个为1，其余两个为2，这时有3组解；故共有6组正整数解。（2）∵x1、x2、x3都为正整数，∴x1、x2、x3可能有三种情况①一个为4，其余两个为1，这时有3组解；②一个为3，一个为2，第3个为1这时有=6组解；③3个都为

7、2，这时只有1组解。故共有3+6+1=10组解。反过来思考，第（1）题结果为6，而6=，第（2）题结果为10，而10=，当中就可以想象存在一定的联系，这不是偶然的一种结果，我们可以去联系排列组合问题里的方法隔板法。对于第（1）题，我们可以把5看成是5个1，只需两块隔板将它们隔开，就能得到一组解，因为每个未知数都为正整数，所以只有4个位置放隔板，故有种方法，即有组不同的正整数解。对于第（2）题，我们可以把6看成是6个1，只需两块隔板将它们隔开，就能得到一组解，因为每个未知数都为正整数，所以只有5个位置放隔板，故有种方法，即有组不同的正整数解。这样

8、我们就由特例推广到这类问题的一般解法。即方程有多少组正整数解？根据上面总结的方法，上述方程有组不同的正整数解。上述问题还可变形为方程6有多少组非负整数