物理竞赛中的数学方法与物理方法-于强

《物理竞赛中的数学方法与物理方法-于强》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、物理竞赛中的数学方法与物理方法于强（余杭高级中学，杭州浙江311100）摘要：运用微积分求解物理问题是大学物理中的基本方法，运用物理模型和物理关系求解则是中学物理竞赛教学中的常见思路。本文通过实例分析了利用这两种方法求解动力学问题的优缺点，探讨了教学中合理配合使用这两种思路的一些原则。关键词：微积分；物理模型；等效；速度构造法微积分是大学物理学中解决许多物理问题所常用的方法，在中学物理竞赛教学和大学先修衔接课程中也得到了广泛的运用。一般来说，复杂的动力学问题多可以运用微积分的方法方便的求解，不过在教学中，有些时候采用物理模型和物理关系来解题，往往有利于学生体会问题中蕴含的

2、物理情境，更直观也更容易理解。本文列举了一些实例，分别利用数学方法和寻找物理关系求解，通过对比不同解法的优缺点，尝试归纳和探讨在教学中应如何合理使用这两种方法的一些原则。1寻找能量关系等，化简积分运算动能定理可以看做是牛顿定律的积分形式，物理中有很多类似的关系式，所以运用能量的思路可以代替一些积分运算。例1均质圆盘的半径为r，可绕其中心O在铅垂平面内自由转动，转动惯量为J。一质量为m的甲虫M，以不变的相对速度u沿此圆环的边缘运动，初瞬时，圆盘静止不动，甲虫位于圆环的最[1]底部，且已有相对速度u。求：甲虫能升高到与O点相同高度的条件。解法一设甲虫与竖直轴y夹角为，圆盘相

3、对于初始位置转动角度为，取逆时针为正。对O轴写出系统的角动量定理有d2[Jmr]mgrsindt由运动学关系得到ut，ru则，，代入动力学方程得r2(Jmr)mgrsin0要求甲虫能升高到与O点相同高度，临界条件为当甲虫与竖直轴夹角/2时，恰为零。2动力学方程改写为(Jmr)dmgrsinddd利用dddddtdt0/2(Jmr2)dmgrsindur/0322mgr得u2Jmr32mgr条件为u2Jmr解法二本题也

4、可以先求出圆盘沿切向方向给甲虫的作用力，求出该力所做的功，运用动能定理求解。对甲虫M受力分析如图所示，有Fmgsinmr利用动力学方程2mrJFmgsinmgsinmgsin22JmrJmr临界条件：当甲虫与竖直轴夹角/2时，恰为零。根据临界条件，写能量方程12WmgrmuF23322mgr2mgr解得u，即应满足u22JmrJmr2寻找动力学与运动学关系，化简求导和微分运算运用求导和微分计算速度和加速度，思路清晰，不易出错。但若遇到计算量较大，或需要一定的技巧的情况时，可以寻找动力学方程和运动学关系使问题简化。“绳拉小

5、船”是一个常见问题，小船速度很容易求解，加速度则比较难。下面用两种方法求小船的加速度。例2在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v，试求船在离岸边距离s处时的加速度大0小为多少？解法一本题直接利用加速度与速度的导数关系求解如下：设船速为v，加速度为a，均沿水平方向；为绳与水平面夹角，有v0d()dvdvcosdvsin00a()2dtdtcosddtcosdsdhhcosv()02dtdtsinsni两式联立得2v03atanh解法二这里尝试用运动学关系解答。设船在地面系中加速度为a，在

6、滑轮和绳所在的转动系中加速度为a，有aar2v(r)0滑轮和绳所在的参考系相对于地面系做角速度不断变化的转动参考系，因此上式比较复杂。不过注意到v为定值，则a0，只有向心加速度项沿a方向，故可以将a分解为沿0r绳的a和垂直于绳的a，有r22v0sinar，其中，rh/sinrhcos2arv03又加速度a水平向左，有atancosh例3匀质细杆直立在光滑水平地面上，从静止状态释放后，因不稳定而滑行地倾倒，如图所示。试问，在细杆全部着[2]地前，它的下端是否会跳离地面？解法一设细杆质量为m，

7、长为l，水平方向不受外力，质心速度v和加速度a沿竖直方向。根据瞬心法有CClv(sin)，其中是杆的转动角速度。根据动能定理C2有l121212mg(1cos)mvI,ImlCCC22212223(1cosgl)sin得vC213sin两边对t求导，得到22d3(1cosgl)sindd3(1cogls)sin2va()()CC22d13sindtd13sin2vClsin2423(sing3sin2cos2cos)aC22(13sin)