双正交小波笔记本

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1、第8章小波函数的进一步分析双正交小波图像压缩对小波的要求1、正交：便于重构和去冗余2、紧支撑：计算量小3、线性相位：边缘失真小（对称/反对称）4、一定的消失矩和正则性现实中，只有Haar小波满足要求1－3，但不满足4解决办法：1、双正交小波2、多小波双正交小波的引入双正交小波的定义设若均构成的Riesz基，且满足：则称是一个双正交小波函数，是的对偶小波，为双正交的对偶小波基（注意与正交的区别）双正交尺度函数的定义定义8.2：设分别是L2(R)的可能不同的MRA若则称是互相对偶的MRA，为双正交尺度函数。（书上有错）双正交小波双正交小

2、波与正交小波的比较问题：非正交时的情况：一般情况、框架、Riesz基等情况下如何重建？回顾正交小波的构造1、基本思路：存在的困难：直接构造尺度函数不易改进办法：直接从滤波器h出发，考虑h，g在满足何种条件下能唯一确定一个正交尺度函数双正交小波的构造基本思路同上：1、从滤波器组出发，采用的过程构造对偶尺度函数和双正交小波2、找出滤波器和满足的必要条件3、确定能构造出紧支撑双正交小波的充分条件双正交小波的构造（必要条件）双通道滤波器组重建条件必要条件总结双正交小波构造的充分条件满足上述必要条件的滤波器并不能保证得到双正交小波，必须使得双

3、尺度方程的频域形式收敛才行，所以必须加一个收敛条件。是线性无关的，同时可以构成的基回忆正交的情况双正交小波的----消失矩设是与双正交小波滤波器组对应的双正交小波函数和尺度函数，的傅立叶变换p次连续可微，则下列命题等价：1、小波具有p阶消失矩2、和它的前p-1阶导数在处为零3、和它的前p-1阶导数在处为零为了构造具有p阶消失矩的小波，根据上述关系，得到类似正交的情形双正交小波级数与变换1.（Mallat算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分）2.解决了正交小波不同时具有紧支集和对称性的问题问：若M无穷大？双正交图7.5滤波器

4、组正交观察双正交与正交小波作分解和重构的异同小波分析的应用……噪声消除依据：*小波分析的多分辨特性：信号与噪声的不同频率特性*有用信号的小波变换在特定位置有较大值，其它大部分位置则很小*白噪声的小波变换在每一尺度上是均匀的、幅度较小，随着尺度的增加而有所减小（迅速衰减）（注意书上pp158末说法并不矛盾之处)（不一定是低频或高频）噪声在小波分解下的特性若n(k)是一个平稳、零均值的白噪声序列，则其小波分解系数是独立的；若n(k)是一个高斯型噪声，则其小波分解系数是独立的且服从高斯分布；若n(k)是一个平稳、零均值有色高斯噪声序列，则

5、其小波分解系数也是高斯型的，且对每一尺度j,其相应系数是一个平稳、有色序列；若n(k)是一个固定的零均值ARMA模型，则对每一尺度j其小波分解系数也是固定的零均值ARMA模型原因：随机过程通过线性系统小波降噪的步骤和方法对信号进行小波分解（需要确定分解层数）；对小波分解后的系数/高频系数进行阀值处理（需要确定阀值）；小波重构关键：阀值和量化方法的确定硬阀值法、软阀值法、改进法（注意书上：j的顺序是反的，与本书前面的不一致）（注意：MRA的概念与此处的Ws(j,k)）（MRA）（2）选择合适的阀值　对小波分解后的系数进行处理，得出估计

6、小波系数使软阀值估计法(无跳变）　　　　　　　　　　　　硬阀值估计法Matlab7中的小波降噪和压缩1.提供了13个小波降噪和压缩函数(pp.322,表13-1)常用：wden,wdencmp2.功能：(1)产生原始信号、噪声、带噪信号等测试数据(2)小波分解(3)估计小波分解后的标准差(4)选择阀值、执行阀值处理一个小波降噪的实例硬阀值法，启发式阀值选择注意产生的多余信号软阀值法，启发式阀值选择硬阀值法，阀值为注意信号的损失%小波降噪snr=3;init=2055615866;%产生原始信号，并叠加标准高斯白噪声[xref,x]=

7、wnoise(3,11,snr,init);%对x实用sym8小波进行５层分解，得到高频系数。使用SURE阀值、软阀值进行降噪lev=5;xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');%输出，输入原始信号，阀值选取方法，软阀值处理，各层是否变化，５级小波分解，sym8小波%画出原始信号subplot(611),plot(xref),axis([12048-1010]);title('原始信号');subplot(612),plot(x),axis([12048-1010]);title(['噪

8、声信号－信噪比为',num2str(fix(snr))^2]);subplot(613),plot(xd),axis([12048-1010]);title('降噪信号－heuristicSURE');小波变换实现数据压缩的依据小波变