方法3.5 分离（常数）参数法（讲）-2017年高考数学（文）二轮复习讲练测（解析版）

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1、分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目,相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1用分离常数法求分式函数的最值例1.【2016高考北京文数】

2、函数的最大值为_________.【答案】2[来源:学#科#网][来源:Z+xx+k.Com]例2.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．xDOMNy第21题图2第21题图1名师解读，权

3、威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即.①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得.②[来源:学科网]将①代入②得，.当时，；名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.1.2用分离常数法求函数的值域分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有，，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出

4、常数.例3.函数y＝(x＞1)的最小值是(　　)A．2＋2B．2－2C．2D．2【答案】A1.3用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数，判断函数的单调性.【答案】当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.【解析】由已知有，，∴当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.学科网例5.已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围______.【答案】.【解析】名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！∵在恒成立，即在恒成立，∵，∴，即.学科网[来源:学_科_网]2分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况

5、，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．【答案】例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列的前项和为，且．　（1）求数列的通项公式；（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范

6、围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以所以当时，，[来源:学,科,网]名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！又，满足上式，2.2求定点的坐标例8.已知直线：，，求证：直线恒过定点.【答案】.【解析】直线的方程可化为，设直线恒过定点，由，得，∴直线恒过定点.学科网【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值

7、或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！