比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

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1、要点一、比例线段1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.2.比例的性质:  (1)基本性质:如果,那么.  (2)合比性质:如果  如果  要点诠释:  (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比;  (2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;  (3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割1.定义: 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果

2、,那么线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.  要点诠释:  ≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点:                                             如图,已知线段AB,按照如下方法作图:  (1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB.  (2)连接AD,在DA上截取DE=DB.  (3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.  要点诠释:  一条线段的黄金分割点有两个. 要点三、平行线截

3、线段成比例基本事实:  两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例  已知如图,直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线,l4、l5是任意画的两条直线,分别于这组平行线相交于点A,B,C,D,E,F,则比例式 成立.                 要点诠释:  上图的变式图形:分A型和X型;       A型      X型  则常用的比例式:依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.  已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.    作法  1.以A为端点作一条射线,并在射线上依次截

4、取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.  2.连结A5B,并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线,依次交AB于点B1,B2,B3,B4.则点B1,B2,B3,B4就   是所求作的把线段AB五等分的点.              依据:实际上,过点A作l∥A5B,根据平行线分线段成比例的基本事实,就可以得到如下关系式    ∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,  ∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,  ∴点B1,B2,B3,B4把线段AB五等分.  要点诠释

5、:  在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.例题:1. (2016•兰州模拟)若a:b=2:3,则下列各式中正确的式子是(  )  A.2a=3b  B.3a=2b  C.  D. 【思路点拨】根据比例的性质,对选项一一分析,选择正确答案.  【答案】B.  【解析】  A、2a=3b⇒a:b=3:2,故选项错误;  B、3a=2b⇒a:b=2:3,故选项正确;  C、=⇒b:a=2:3,故选项错误;  D、=⇒a:b=3:2

6、,故选项错误.  故选B.  【总结升华】考查了比例的性质.在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积.2. 设,求的值.  【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x,y,z的值,因此用设参数法代入化简.  【答案与解析】  设=k  则x=2k,y=3k,z=4k  原式===  【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后,未知数越多更不易解出,实际上分子、分母能产生公因式约去3. 如图所示,矩形ABCD是黄金矩形(即=≈0.618),如果在其内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE,试问矩形ABF

7、E是否也是黄金矩形?                   【思路点拨】  (1)矩形的宽与长之比值为,则这种矩形叫做黄金矩形.  (2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明=即可.  【答案与解析】  矩形ABFE是黄金矩形.  理由如下:因为=  =  所以矩形ABFE也是黄金矩形.  【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形,要根据实际条件灵活选择判断方法.5.(2014秋•平川区校级期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,且,EG∥CD.证明:AE=AF.                        

8、    【思路点拨】  由平行可得=,且,可得=,结合AB=AC,由比例的性质可得=,可得AE=AF.  【解析】  证明:∵EG∥CD,  ∴=,且,  ∴=,  ∴=,即=,  ∵AB=AC,  ∴AE=AF.  【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理,解题的关键是找准对应线段.6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,E

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