比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理

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1、黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．AC与AB的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：因为，且BC＝AB－AC，所以，解得AC＝，或AC≈0.618AB，即得黄金比或0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。方法一：如图1、经过点B作BD⊥AB，且BD=2、连接AD，在DA上截取DE＝DB．3、在AB上截取AC＝AE，所以点C是线段AB的黄金分割点．理由：设AB＝1，则BD＝1/2,AD＝，AC＝，BC＝所以，所以点C是

2、线段AB的黄金分割点．方法二：如图1、在线段AB上作正方形ADCB2、取AD的中点E，连接EB．3、延长DA至F，使EF＝EB．4、以线段AF为边作正方形AFGH．所以点H是线段AB的黄金分割点．理由：设AB＝1，则AE＝，所以→＝AH，BH＝所以，所以点H是线段AB的黄金分割点．方法三：如图1、以AB为腰作等腰△ABD，使∠A＝36°2、作∠ADB的角平分线交AB于点C所以，点C是线段AB的黄金分割点．理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形例1：如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.61

3、8），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？、例2：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？练习题一、请你填一填（1）如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式________，即AP是________与________的比例中项.（2）黄金矩形的宽与长的比大约

4、为________（精确到0.001）.（3）如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm,b=4cm,c=5cm,则d=_____________cm.（4）已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点，则AO∶AB∶AC=________.二、认真选一选1、有以下命题:①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=－1其中正确的判断有（）

5、A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A、；B、；C、；D、3、.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是()A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618ABA.1个B.2个C.3个D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为（）　A、B、C、D、三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。AEFB2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB＝10cm，求EF的长度．3

6、、如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.二、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果，则，，.2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则_A_B_C_D_E_E_D_C_B_A3.平行的判定定理：如上图，如果有，那么∥。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，，且,

7、若，求的长。【例2】如图，已知，若，，，求证：.【巩固】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为.证明：.【巩固】如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.【例1】如图，在梯形中，，，过对角线交点作交于，求的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题【例1】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______.（2）如图（2），已知中，，，与相交于，则的值为（）A.B.1C.【例2】（2001年河北省

8、中考试题）如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.（1）当时，求的值。（2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并