比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

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1、要点一、比例线段1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：　　（1）基本性质：如果，那么.　　（2）合比性质：如果　　如果　　要点诠释：　　（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；　　（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；　　（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果

2、,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.　　要点诠释：　　≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如图，已知线段AB，按照如下方法作图：　　（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.　　（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.　　（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.　　要点诠释：　　一条线段的黄金分割点有两个.　要点三、平行线截

3、线段成比例基本事实：　　两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例　　已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　要点诠释：　　上图的变式图形：分A型和X型；　　 　　　 A型　　　　　　X型　　则常用的比例式：依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.　　已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.　　　　作法　　1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截

4、取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.　　2．连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就　　　是所求作的把线段AB五等分的点.　　　　　　　　　　　　　　依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式　　　　∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，　　∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,　　∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.　　要点诠释

5、：　　在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.例题：1. （2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（　　）　　A．2a=3b　　B．3a=2b　　C．　　D．　【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．　　【答案】B．　　【解析】　　A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；　　B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；　　C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；　　D、=⇒a：b=3：2

6、，故选项错误．　　故选B．　　【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2. 设，求的值．　　【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．　　【答案与解析】　　设＝k　　则x＝2k，y＝3k，z＝4k　　原式＝＝＝　　【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABF

7、E是否也是黄金矩形？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【思路点拨】　　（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．　　（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．　　【答案与解析】　　矩形ABFE是黄金矩形．　　理由如下：因为＝　　＝　　所以矩形ABFE也是黄金矩形．　　【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.5.（2014秋•平川区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8、　　　　【思路点拨】　　由平行可得=，且，可得=，结合AB=AC，由比例的性质可得=，可得AE=AF．　　【解析】　　证明：∵EG∥CD，　　∴=，且，　　∴=，　　∴=，即=，　　∵AB=AC，　　∴AE=AF．　　【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，E