数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)

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1、考点4数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{}共有2k项（2≤k且k∈N*），数列{}的前n项的和为，满足=2，=（p－1）+2（n=1，2，3，…，2n－1），其中常数p＞1（1）求证：数列{}是等比数列；（2）若p=，数列{}满足（）（n=1，2，…，2n），求数列{}的通项公式（3）对于（2）中的数列{}，记，求数列{}的前2k项的和．【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n=1时，=2p，则，当2≤n时，，，∴，即，∴，故数列{}是等比数列．（2）由（1）

2、，得（n=1，2，…，2n），∴，==，（n=1，2，…，2n），即数列{bn}的通项公式为，（n=1，2，…，2n）．（3），设，解得n≤，又n为正整数，于是：当n≤k时，；当n≥k+1时，，∴数列{}的前2k项的和：．2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{}的前n项和记为，且．（1）求数列{}的通项公式；（2）设，记数列{}的前n项和记为，，求证：.【考点】错位相减法求和【解】（1）当n=1时，，当n≥2时，，故，（2），其中，当n≥2时，①，②，∴①－②得，，∴，由于，∴．3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列中，，二

3、次函数的对称轴为x=，（1）试证明是等差数列，并求的通项公式；（2）设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由．【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和．【解】（1）∵二次函数的对称轴为x=，∴≠0，，整理得，左右两边同时乘以，得，即(常数)，∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．（2）∵，①，②①-②得：，整理得．∵，∴数列{}是单调递增数列．∴要使成立，即使，整理得n+2>，∴n=1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{}的前n项之和为，且对n∈成立．（1）求常数k的值以及数列

4、{}的通项公式；（2）设数列{}中的部分项，恰成等比数列，其中＝2，,＝14，求的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．【解】（1）法一：条件化为对n∈成立．设等差数列公差为d，则．分别令n＝1，2，3得：由①＋③－2´②得，．两边平方得，．两边再平方得，．解得d＝2．代入②得，，④由④－①得，．所以＝0，或＝1．又当＝0时，d＝0不合题意．所以＝1，d＝2．代入①得k＝1．而当k＝1，＝1，d＝2时，，等式对n∈成立．所以k＝1，．法二：设等差数列的首项为，公差为d，则，．代入得，，即．因为上面等式对一切正整数

5、n都成立，所以由多项式恒等可得，因为d≠0，所以解得，所以常数k＝1，通项公式．（2）设，则数列{}为等比数列，且．故等比数列{}的公比q满足．又＞0，所以q＝3．所以．又，所以．由此可得．所以．所以．法一：令，则，两式相减得:，,代入得．法二：因为．所以．代入得.5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知是等差数列，其前n项的和为，是等比数列，且，，.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由，得=2+3d，，由条件，，得方程

6、组解得所以.(2)由题意知，.记.则=，，所以，.6.（15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{}为等比数列，其中=1，且成等差数列．（1）求数列{}的通项公式：（2）设，求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{}中，公比为q，∵，且成等差数列，∴，∴，解得q=，∴．（2）∵，∴，∴，①，②①－②，得：，∴．7．等差数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前10项的和为________．【答案】　75【分析】　因为，所以的前10项和为10×3＋＝75.8．已知函数，且，则等于__

7、______．【答案】　100【分析】　由题意，得＝＝＝＝.9．数列，，，，共有十项，且其和为240，则＋的值为________．【答案】　130【分析】　＋＝240－(2＋＋2k＋＋20)＝240－＝240－110＝130.10．(2015·泰州质检)已知数列满足，，则________.【答案】　【分析】　，，又.∴＝2.∴，，，成等比数列；，，，成等比数列，∴＝＝.11．已知数列：，，，，，，若，那么数列的前n项和为________．【答案】　【分析】　，∴，∴＝.12．(2015·扬州测试)在数列中，，，记为的前n项和，则＝_______

8、_.【答案】　－1005【分析】　由，可得，，，,该数列是周期为4的数列，所以.13．(2014·济南模拟)设等差数列的前n项和为，且，.(1)求，；