《角平分线》1

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1、第四节角平分线（一）还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?用心想一想角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．放开手脚做一做证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)21EDCPOBA分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPB，角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相

2、等．21EDCPOBA如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．你能写出这个定理的逆命题吗?用心想一想，马到功成这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．这是一个真命题吗?已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．用心想一想，马到功成证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO

3、=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．21EDCPOBA角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．你能用什么办法平分一个已知角呢?用心想一想，马到功成１．可以用量角器．２．使用三角尺，也可以平分一个已知角．３．用角尺也可以平分一个已知角．４．用直尺和圆规平分一个已知角．放开手脚做一做已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．EDBOA

4、Ｃ作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．3．作射线OCOC就是∠AOB的平分线．如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？大胆尝试，练一练！FEDCBA4321解：∵AD平分∠CAB,∴∠1=∠2=∠CAB∵AE平分∠CAF，∴∠3=∠4=∠CAF又∵∠CAB+∠CAF=180°∴∠1+∠3=（∠CAB+∠CAF）=×180°=90°即AD⊥AE．课堂小结,畅谈收

5、获：(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．(二)角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(三)用尺规作角平分线．