向量组的秩和线性相关性

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1、§2.2向量组的秩和线性相关性§2.2向量组的秩和线性相关性一.基本概念列向量组:1,2,…,s矩阵A=(1,2,…,s)矩阵A的秩向量组1,2,…,s的秩r(1,2,…,s)第二章n维列向量行向量组:1,2,…,s矩阵A的秩向量组1,2,…,s的秩矩阵A=12s…r(1,2,…,s)§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量r(1,2,…,s)sr(1,2,…,s)

2、性无关1,2,…,s线性相关§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量(linearlydependent)(linearlyindependent)1,2,…,s线性相关1T,2T,…,sT线性相关几个显然的结论:(1)注意:不要混淆:“矩阵A的列向量组线性相关”“矩阵A的行向量组线性相关”与如:A=101010§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量(2)只含有一个向量的向量组线性相关=0.(4)含两个向量,的向量组线性相关,的分量成比例.(

3、5)当s>n时,任意s个n维向量都线性相关.(3)含有零向量的向量组一定线性相关.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量例题2.2求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。（1）（2）（3）n维基本单位向量组解：(1)记则因为，所以行列式的秩小于3，明显的，A的2阶行列式故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。(3)因为ε1,ε2,...,εn对应的矩阵是单位矩阵,从而其秩为n，故该向量组是线性无关的(2)记例题2.3设线性无关，且证明：线

4、性无关。解：只对列向量的情形证明。记据已知条件知，B=AP而矩阵P是可逆的，因此，r(A)=r(B)，因此线性无关。二.向量组秩的性质A:1,2,…,rB:1,2,…,s若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.1.给定两个向量组§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量能由线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,若向量组B能由向量组A线性表示，同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.§2

5、.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量A:1,2,…,rB:1,2,…,s4.给定两个向量组显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价(传递性).定理2.1如果向量组β1,β2,...,βt可以由α1,α2,...,αs线性表示,则r{β1,β2,...,βt}≤r{α1,α2,...,αs}推论2.1如果向量组β1,β2,...,βt可以由α1,α2,...,αs线性表示,且t>s,则向量

6、组β1,β2,...,βt一定线性相关。推论2.2如果向量组β1,β2,...,βt与向量组α1,α2,...,αs等价,则r{β1,β2,...,βt}=r{α1,α2,...,αs}推论2.3如果向量组β1,β2,...,βt与向量组α1,α2,...,αs都线性无关且相互等价，则s=t例2.4.设有两个向量组I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II线性表示.则1=1+2,21212=12,2321

7、3=1+2,2321即II可以由I线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量组I与II等价.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量例2.5设向量组可以由向量组线性表示，并且证明：线性无关的充分必要条件是线性无关。证明：由已知可以由线性表示三个式子相加得即。因此，同时由条件可以解出；将所以可以由线性表示。因此两个向量组是相互等价的。即线性无关的充分必要条件线性无关