《量子力学导论Cha》PPT课件

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1、§4.2厄米算符的本征值、本征函数以及共同本征函数1、涨落对于都用量子态来描述的大量相同的体系，如果对某一力学量A进行多次测量，所得结果的平均值将趋于一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平均值有个涨落，在数学上定义为：2、本征态与本征值（1）本征态有一种特殊的状态，测量力学量A的结果是唯一确定的，即涨落为零，这种特殊的态就是本征态。（2）本征方程与本征值An称为A的本征值，n为相应的本征态。量子力学假定测量力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符A的本征值。当体系处于A的本征态n，则每次测量所得结果都是An。3、两条

2、定理（1）厄米算符的本征值都为实数证：（2）属于不同本征值的本征函数彼此正交4、能级简并时本征函数的正交化处理简并是指本征值相同，但本征态不一样。特别是，当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。能级简并时，仅根据能量本征值并不能把各简并态确定下来。能级简并时本征函数的正交化处理过程出发点分析：在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态进行适当的线形叠加以实现彼此正交。fn个中任选两个，；再自身加上归一化要求，fn个5、共同本征函数（1）测不准关系与共同本征态体系处于力学量A的本征态时，对

3、A进行测量，可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本征态下去测量另一个力学量B，是否也能测到确切值呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量之间就不可能同时完全确定。普遍情形是此乃任意两个力学量A和B在任何量子态下的涨落必然要满足的关系式，即测不准关系式。证明:共同本征态：从测不准关系可以看出，如果两个力学量A和B不对易，则一般来讲A和B不能同时为零，A和B不能同时测定（除了这一种特殊态例外）。就是说，二者没有共同的本征态。反之，如果这两个力学量对应的厄米算符对易，即，则可以找出一种态使得二者可以同时测定，即可以找出二者

4、的共同本征态。（2）求共同本征函数的一般原则分两种情况讨论An无简并(b)An有简并6、力学量完全集（1）定义设有一组彼此独立、相互对易的厄米算符它们具有共同本征函数，记为k，k是一组量子数的笼统记号。设给定k之后就能够确定体系的一个可能状态，则称构成体系的一组力学量完全集.（2）波函数统计诠释的最一般的数学描述按照态叠加原理，体系的任何一个状态均可用k展开，表示在态下测量A得到Ak值的几率。这是波函数统计诠释的最一般的数学描述。例如，一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力学量完全集。它的本征函数为n，n=0,1,2,…,

5、就构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一个态均可用它们进行展开，表示在下测得振子能量为En的几率。（3）含哈密顿量H的力学量完全集如果力学量完全集中包含哈密顿量H，并且H有下界，则这组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢，体系任何一个状态均可用这组基矢展开。实际物理体系的H（能量）的本征值都包含在这组力学量完全集的本征值之中。体系的任何态都可用包含H在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。如果H不显含时间，这组力学量完全集称为守恒量完全集，将产生一组好量子数。在量子力学中寻找体系守恒量完全集是极其

6、重要的。（4）力学量算符表达之总结在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达平均值实验上观测A的可能取值，必为算符的某一本征值力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出来。（一般而言，两个力学量A和B同时具有确定的测量值的必要条件是二者之间完全对易，即）7、(l2，lz)的共同本征态和球谐函数（1）概述角动量l的三个分量彼此不对易，因为三分量一般没有共同本征态，但考虑到可以找到l2与角动量任何一个分量（如lz）的共同本征态。此外，在中心力场问题中，可以证明因此，体系守恒量完全集可以选择为(H,l2,lz).（2）lz的本征方程、

7、本征值和本征函数（3）(l2，lz)的共同本征态因为，l2的本征态可同时取为lz的本征态.因为和相互独立，所以l2的本征函数可分离变量。化简后得到这是缔合勒让德（或连带Legendre）方程。方程的两个奇点在=1；在其余

8、

9、<1区域为常点。可以证明（级数解法），只有当时，方程的解才截断为多项式，解为缔合勒让德多项式它在物理上可以接受，是有界的。最终(l2，lz)的正交归一的共同本征函数为Ylm为球谐函数（4）讨论l2和lz的本征值都是量子化的；l＝0，1，2…为轨道角动量量子数；对于给定的l值，l2的本征函数是不确定的，因为

10、m有2l+1个取值，它有（2l+1）个简并态；m＝l，l-1，…，-(l-1)，-l称为磁量子数；利用引入的磁量子数可将这些简并态区分开来，导致Ylm球谐函数。光谱符号：l＝0，1，2，3，4，5，…s，p，d，f，g，