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1、7切线长定理1.什么是圆的切线?2.圆的切线有什么性质?3.根据性质，如何经过圆上一点作圆的切线？BA1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2.这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.OP过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.OPAB比一比：切线与切线长OABP12思考：已知⊙O切线PA
2、，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?折一折请证明你所发现的结论.APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.证一证切线长定理∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:OPAB注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法PA=PB∠OP
3、A=∠OPBAPOB若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分ABM证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.拓展APO.B若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.又∵PC=PC.∴△PCA≌△PCB，∴BC=AC.C.PBAO（3）连接圆心和圆外一点（2）连接两切点（1）分别连接圆
4、心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.想一想深入探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.BAPOCE（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PBAB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB（3）写出图中所有的全等三角形BAPOCED1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,AC=3,BC=4.求⊙O的半径r.●ABC
5、ODEF●【例1】ABCDEF变式1：已知△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长..Ixyz【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,xyz答：AE,CD,BF的长分别是9,2,6.x+y=15,y+z=8,x+z=11,x=9,y=6,z=2,则解得变式2：已知如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【解析】易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.∴PE+EQ=PA=1
6、2cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.∴周长为24cm.F【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等．DLMNABCOP【例2】如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.42xx【解析】设OA=xcm；在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理
7、，得PA2+OA2=OP2，即42+x2=(x+2)2,整理，得x=3.所以，半径OA的长为3cm.【跟踪训练】1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°C2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2B．3C．D．【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切圆半径为1，利用勾股定理求得AB=,那么这个正三角形的边长为.AB完成课本习题
