不完全信息博弈的第一价格拍卖

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1、独立私有价值拍卖讨论具有不完全信息的第一价格拍卖和第二价格拍卖，其中最典型的一类不完全信息的拍卖形式就是独立私有价值拍卖（individualprivatevalueauction）。独立私有价值拍卖是指这样一种拍卖形式：买主只知道他们自己对拍卖品的评价。但对其他买主的评价却并不清楚。下面我们将详细讨论只有两个买主的独立私有价值拍卖，并且假设每个买主使用线性的出价策略。在密封投标的第一价格的独立私有价值拍卖中，假设每个买主i对拍卖品的评价为v，并且出价最高的买主按照他的出价赢得拍卖品。如果两个买主的出价相同，则通过i抽签的办法最终确定由谁赢得拍卖品。因此，如前所述，买主们的支

2、付函数分别为：⎧v−b,如果b>b1112⎪⎪v1−b1u1(b1,b2)=⎨,如果b1=b2⎪2⎪⎩,0如果b1b2221⎪⎪v2−b2u2(b1,b2)=⎨,如果b2=b1⎪2⎪⎩,0如果b2

3、对拍卖品的真实评价v，因而他必须把v看作一个随机变量。这意味着买主对买主ij的jj真实评价v的信念，可以表达为一个分布函数F。也就是说，买主把iv看作一个具有分jij布函数F的随机变量。因此，买主相信，事件iv≤v发生的概率为iiP(v≤v)=F(v)iji这是一个博弈，每个买主在推测了其他买主的出价行为后，才决定自己的最优出价。很自然地，买主们的出价b和b应当是他们各自对拍卖品的评价v和v的函数，即1212b=b(v)，b=b(v)。111222由于缺少对另一个买主的信息，因而每个买主的最优策略是选择一个能最大化期望支付1的出价。每个买主的期望支付分别是：E(b,b)=P(

4、b>b)u(b,b)+P(b=b)u(b,b)+P(bb)+(v−b)P(b=b)111121111221E(b,b)=(v−b)P(b>b)+(v−b)P(b=b)21222221222212从上述分析可以看出，每个买主的策略，例如说买主1，就是出价函数b(v)，而他的11目标就是在给定第二个买主的出价函数b=b(v)的条件下最大化他的期望支付。因此，222买主1的期望支付函数可写为：1Eu(bb)=(v−b)P(b>b)+(v−b)P(b=b)；11211112111122同样，买主2的期望

5、支付函数可写为：1Eu(bb)=(v−b)P(b>b)+(v−b)P(b=b)。22122221222212下面我们讨论该博弈的纳什均衡。如果对于买主1的每一个出价函数b(v)，我们都有11Eu(bb)*≤Eu(b*b)*，112112对于买主2的每一个出价函数b(v)，我们都有：22Eu(bb)*≤Eu(b*b)*221221则我们说出价函数对(b(*v),b(*v))构成独立私有价值拍卖的纳什均衡。容易验证，这1122种说法符合我们前面一再强调的纳什均衡的定义。下面我们通过一个特殊的例子来说明如何求解独立私有价值拍卖的纳什均衡。假定两个买主都知道对方对拍卖品的评价位于区间

6、内[v,v]，其中v>v≥0。我们进一步假定每一个买主知道另一个买主的私人评价服从区间[v,v]上的均匀分布（uniformdistribution）。也就是说，买主i只知道买主j对拍卖品的真实评价v是一个随机j变量，它的密度函数f(v)为：i2⎧1⎪,如果vv容易理解，下面两个作为“参与约束”的“理性”条件必须得到满足，否则参与人不会参加拍卖：b(v)≤v，1b(v)≤v2由于每个买主

7、所拥有的关于对方对拍卖品的私人评价方面的信息是对称的，所以每个买主在选择最优策略过程中所进行的推理在本质上是相同的。由此我们可得到如下结论：结论8.1假定在一个两买主的独立私有价值拍卖中，每个买主的评价都是一个随机变量，并且都服从区间[v,v]上的均匀分布，则线性出价规则对：1111b(v)=v+v和b(v)=v+v1112222222构成一个对称的纳什均衡。接下来我们要证明，线性的出价规则对11b(*v)=v+v和1112211b(*v)=v+v22222构成这个独立私有价值拍卖的对称的纳什均衡。按照