Chebyshev polynomial and its applications

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1、切比雪夫多项式及其应用姓名：周思益学号：PB10203202邮箱：zhousiyi@mail.ustc.edu.cn2012年12月5日摘要本文介绍了在数学和物理学中应用很广泛的切比雪夫多项式的性质，并应用这些性质给出一个很接近极小极大逼近的多项式逼近。切比雪夫多项式有若干有用的应用。最后本文还介绍了切比雪夫多项式的应用之一及用切比雪夫多项式插值的matlab程序。1背景第一次接触切比雪夫多项式是在老师留的作业题上面。作业题是说要我们对函数1f(x)=x2[5;5](1)1+x2取以下两组节点1.x=5+10i;i=0;1;2;:::;NiN2.x=5+cos(2i+1i);i=0;

2、1;2;:::;Ni2N+2计算Lagrange插值函数LN(x)，当时计算结果是：第一组节点误差：N=5,MAX=0.4326923076923077N=10,MAX=1.9156430502192499N=20,MAX=58.2781251077339988N=40,MAX=78689.0374853863468000第二组节点误差：N=5,MAX=0.5559113388123966N=10,MAX=0.1089290398924539N=20,MAX=0.0153250885438281N=40,MAX=0.0002738597899328明显第一组在N较大时会出现误差很大的情况。

3、这是由于在N较大是会产生伪摆动。对于第一组节点（等距节点）：N=5时的拟合图像：N=10时的拟合图像：N=20时的拟合图像：N=40时的拟合图像：对于第二组节点（切比雪夫点）：1图1.N=5等距节点插值图2.N=10等距节点插值N=5时的拟合图像：N=10时的拟合图像：N=20时的拟合图像：N=40时的拟合图像：由上述图像可以直观看出切比雪夫点的插值函数在N较大时可以比等距节点更好的与函数吻合！本文接下来即将介绍切比雪夫点的理论，并推导出为什么切比雪夫点是最好的插值节点。2多项式插值的误差理论定理2.1设n0并设f(x)在[a;b]上有n+1阶连续导数，再设x0;x1;:::;xn是[a

4、;b]内互不相同的节点。对axb，有(xx0)(xx1):::(xxn)(n+1)f(x)Pn(x)=f(cx)(2)(n+1)!其中cx是介于x0;x1;:::;xn的最小值和最大值之间的某个数。在接下来的讨论中将会用到这个定理。3切比雪夫多项式对于整数x0，定义函数T(x)=cos(ncos1x);1x1(3)n2图3.N=20等距节点插值图4.N=40等距节点插值我们将证明这个函数是一个n次多项式：引入变量变换：=cos(1)(x)￿x=cos();0(4)则有Tn(x)=cos(n)(5)切比雪夫多项式有两类，第一类切比雪夫多项式Tn(x)和第

5、二类切比雪夫多项式Un(x)。本文只讨论第一类切比雪夫多项式。切比雪夫多项式有三种定义方式，前面讲的是三角函数定义。还有递推关系定义：T0(x)=1(6)T1(x)=x(7)Tn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x)(8)也可以用母函数表示:∑1n1txTn(x)t=(9)12tx+t2n=0还有一种定义是以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程T2(x21)U2=1(10)ii1在多项式环R[x]上的解√√T+Ux21=(x+x21)i(11)ii13图5.N=5切比雪夫点插值图6.N=10切比雪夫点插值因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出前六个切比雪夫多项

6、式的图像：在介绍主要结果之前，对所有n0我们注意到jTn(x)j1;1x1(12)同样注意到T(x)=2n1xn+低阶项￿n1(13)n根据定义(8)，利用jcos(n)j1可直接得到上述第一个结果。用数学归纳法和递推公式(??)可证明第二个结果。可以看出，已经算出的T1;T2;T3和T4都符合(13)引入Tn(x)的修正形式Te(x)=1T(x)=xn+低阶项;n1(14)n2n1n根据(12)和(13)得1jTen(x)j=;1x1;n1(15)2n1我们把最高次项的系数是1的多项式称为首一多项式。定理3.1设整数n1，考虑所有可能的n次首一多项式。则

7、在[-1,1]上具有最小极大绝对值的n次首一多项式是修正的切比雪夫多项式Ten(x),它在[-1,1]上的极大值是1/2n1。4切比雪夫多项式的应用：近似极小极大逼近方法区间[-1,1]上f(x)的n次近似极小极大逼近，插值误差是(xx0)(xx1):::(xxn)(n+1)f(x)cn(x)=f(cx)(16)(n+1)!4图7.N=20切比雪夫点插值图8.N=40切比雪夫点插值我们设法极小化maxj(xx