maximum principle and its applications

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1、新疆师范大学2012届本科毕业论文2012届本科毕业论文极值原理及应用Maximumprincipleanditsapplications学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08-2班学生姓名：指导教师：教授答辩日期：2012年5月8日新疆师范大学教务处19新疆师范大学2012届本科毕业论文目录摘要21极值原理的内容31.1弱极值原理31.2强极值原理42极值原理的性质52.1调和函数的极值原理的性质52.2极值原理与最大模估计62.2.1极值原理与最大模估计中的弱极值原理62.2.2第一边值问题解的最大模估计72.

2、2.3第二、三边值问题解的最大模估计83.极值原理的应用103.1初等数学中的极值应用103.2极值原理和比较原理113.2.1椭圆形方程的情形113.2.2抛物形方程的情形12参考文献15致谢1519新疆师范大学2012届本科毕业论文极值原理及应用摘要：众所周知，极值原理在偏微分方程研究中具有十分重要的作用。本文中，我们对偏微分方程的若干极值原理做了归纳总结。并且还给出了几个极值原理的若干应用。关键词：极值原理;最大模原理;偏微分方程MaximumprincipleanditsapplicationsAbstract：A

3、sitisknowntoallthatMaximumprincipleinaveryimportantroleinthestudyofpartialdifferentialequations.Inthispaper,Maximumprincipleofpartialdifferentialequationsaresummarized.Andalsogivesthenumberofapplicationsofthemaximumprinciple.Keywords:Maximumprinciple;Maximummodulu

4、sprinciple;partialdifferentialequations19新疆师范大学2012届本科毕业论文极值原理及应用引言“极值”问题一直是数学研究的中心问题。无论是分析，代数与几何都涉及不同的极值问题。其它的自然科学也是如此。伟大的哲学与数学家罗素在其专著《人类的知识》中有关因果律一节中论述到：按照爱因斯坦的说法，时空中充满我们可以叫做小山的东西；每座小山越往上就越陡，在山顶还有一块物质。结果是各地点之间最容易走的路途就是盘绕各小山的那个路途，引力存在于这个事实之上：物体总是走最容易的路径，这就是那种叫做“短

5、程线”的东西。有一种叫做“最小作用原理”的宇宙惰性原理。这个定律表示一个物体从一个地点移动另外一个地点要选择需要作出最小的功的路途，通过这个原理，引力才被时空的几何学包括进去，数学上给予这个定理一个量化的描述就是：微分方程中的山路引理（mountainpass）。在微分方程的解的存在性问题中，我们经常构造一个极小化序列，即ps序列并验证ps序列满足mountainpass条件。这个极小化序列的极限就是微分方程的解，就相当于：盘绕各个小山的那个路径。众所周知，极值原理在偏微分方程研究中具有十分重要的作用。本文中，我们对偏微分

6、方程的若干极值原理做了归纳总结。并且还给出了几个极值原理的若干应用。以下我们分几部分论述之。1.极值原理的内容设Ω是n维欧氏空间的有界开区域，Ω的边界记为，考虑比poisson方程更一般的方程，（1.1）我们假定当（1.2）对于方程（1.1）的最大模估计，条件(1.2）是十分重要的。1.1弱极值原理引理1.1设，函数且在Ω内满足，则u不能再Ω内达到它在上的非负最大值。定理1（弱极值原理）设且在Ω上有界，且在Ω内满足，则u在上的非负最大值必在上达到，即其中19新疆师范大学2012届本科毕业论文注1如果，则引理1.1与定理1中

7、的“非负最大值”可以用“最大值”代替。注2极值原理的物理意义是显然的，对于一个稳定温度场，如果内部有热汇，那么温度的最大值必在边界达到。注3在定理1中，如果在Ω内，u在上的非正最小值必在上达到，如果，则u在上的非负最大值和非正最小值都必在上达到。1.2强极值原理其中定理1只断言u在上的非负最大值必在上达到，我们可以得到更强的结果，方程（1.1）的非常数解u的非负最大值不能再Ω内达到，这就是“强极值原理”，为证明强极值原理，需要以下基本引理：引理1.2（边界点引理）设S是的一个球，在S上且有界，如果且满足条件，且当时，则，（

8、1.3）其中与在点的单位外法向量n的夹角小于。定理2（强极值原理）设Ω是有界连通开区域，在Ω上且有界，并满足，如果u在Ω内达到非负最大值，则u恒为常数。证明:记，考虑集合。由于u在Ω内的连续性，显然E相对于Ω是闭的，如果我们能证明E相对于Ω是开的，有Ω的连通性，则或，前者表示u在Ω上恒为常数M，后者表示