再生解析Hilbert空间上的复合算子

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1、绪言设n为c中的区域，日ol(Q)表示Q上的解析函数全体．日c日川(Q)为Hilbert空间．妒为区域Q上的解析自映射，符号为妒的复合算子定义为瓯，(z)=，(妒(。))，V，∈Ⅳ．如果对任何A∈n，在A处的计值泛函B：，一，(^)为日上的有界线性泛函，由m鹤z表示定理，对任何A∈n存在配∈日，使得，(A)=<，，麟>．此时，称日为再生解析Hilbert空间【11．配(。)称为日的再生解析核函数，简称再生核．D表示复平面c中的单位圆盘．各种经典函数空间上复合算子本身的性质，特别是有界性，紧性，谱以及本性谱等的研究

2、已进行得非常广泛．1973年，J．H．sh8piro和P．D．Taylor得出：若Hardy空间日2(D)上的复合算子G紧，则妒在∞上任一点处角导数不存在吼carl．cowen给出了日2(D)上的复合算子。本性范数的估计，并且计算了其中一类性质比较好的复合算子的本性谱【3】．B．D．Maccluer利用carleson测度研究了三P(毋，)上复合算子的性质【4】，得到了一些深刻的结论．B．D．Maccluer和J．H．shapiro同样利用了carle∞n测度的技巧证明了：若加权Dir过det空间D口∽>o)上的

3、复合算子紧则可得妒在aD上任一点处角导数不存在，并且得出对于加权Bergman空间A：(D)@>一1)上的复合算子o，％紧的充要条件为妒在aD上任一点处角导数不存在15】．1987年，J且shapiro利用Nevanlinna计数函数的性质，给出了经典H”dy空间日2(D)上紧复合算子瓯中符号妒的刻划，并且计算了复合算子的本性范数f6

4、．关于复合算子，当前很受大家关注的另一个课题是：复合算子空间的拓扑结构．这里讨论的复合算子空间是指作用在某一Hnbert空间日c日D2fn)上的复合算子全体c(日)作为B(日)(H

5、nbert空间H上的有界线性算子全体)的子集继承B(日)中的算子范数拓扑而成的拓扑空间．一些具体函数空间上的复合算子空间的拓扑结构的研究正广泛开展．1981年，E．Berlcson在研究日2空间上的复合算子的孤立性时首先关注了c(日2)的拓扑结构【7】．1989年，B．D．Maccluer表明，加权Dirid儿t空间巩(a≥1)上紧复合算子全体在c(巩)中弧连通，并给出了两复合算子的差为紧算子的必要条件吼1990年，J．H．shapiro和c．sundberg得到了有关日2(D)上复合算子差的紧性以及日2(D)上

6、复合算子孤立性的更深入的结论吼2001年，B．D．MacchIer等研究了c(日*)的拓扑结构，对c(日o。)的连通分支刻划得非常清楚[101．2005，J．MoorhollSe研究了加权Bergman空间A：(皿)(a>一1)上复合算子差的紧性【11】．本文研究的空间是由收敛半径为R2的解析函数9(z)=∑o。扩(o。≥0，n=o，1，2⋯)所生成的再生解析Hilbert空间．第二章讨论了平面上的再生解析Hilbert空间的生成元；第三章介绍了研(D_R)这个一般的再生解析Hilbert空间上复合算子差的紧性，

7、推广了文献[11】中的部分结论；第四章在这些关于复合算子空间拓扑结构研究的文献基础上，得到了c(瑶(DR))的一些拓扑性质．2第一章再生解析Hilbert空间本章主要讨论再生解析Hilben空间的定义，基本性质，空间结构和规范正交基，解析再生核的特征．另外还介绍再生解析Hnb”t空间田(D)与常见的函数空间之闻的关系，为后面的研究提供理论基础．§1．1解析再生核设n为c中的区域，日。l(n)表示n上的解析函数全体．日c日oc(n)为Hilbert空间．如果对任何A∈n，在A处的计值泛函毋：，一，(A)为H上的有界

8、线性泛函，由mesz表示定理，对任何A∈n，存在jh∈日，使得，㈧=<，，虬>．此时，称H为再生解析Hilbert空间叭容易验证H上的再生核蚝(z)=耳(z，A)具有以下性质【12l；(a)K(z，A)关于z解析，关于A共轭解析；(b)对于有限个点A1，^2，⋯h∈n，矩阵僻(^，b))。。。半正定；(c)对A1，如，⋯k∈n，n1，02，⋯n。∈c(其中c是复数域)，若对1曼Jsm，∑锄丐K(凡，～)=o，则有∑啦K(k：)=o．；=lt=1再生核的一般理论起源于文献[13]，由以上K(。，A)所具有的性质，可

9、作如下定义z定义1．1．1【121设Q为c中的区域，耳(z，A)为Q×Q上定义的函数．若(1)K(z，A)关于z解析，关于A共轭解析；(2)对于有限个点Al，A2，⋯A。∈n，矩阵(K(九，～))。。。半正定；(3)对A1，A2，⋯h∈Q，a1，n2，⋯a。∈c(其中c是复数域)，若对1曼J≤m，∑Qt巧K(凡，～)=o，则有∑帆耳(A，，z)=o．则称Ⅳ(z，A)为Q上