有限Abel群上整体位相函数的结构

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1、独创性：声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞竖基盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文版权使用授权书本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。(保密的论文在解密

2、后应遵守此规定)签名：丞塞堑导师签名：全国全日期：知o’．石．呷§1引言1问题的背景1936年，ErdSs和TurSn提出了一个关于等差数列的重要猜想11】，他们认为在任何一个足够稠密的整数集中都可以找到长为k(k∈N+)的等差数列．这一猜想极大地激发了很多数学工作者的研究热情．在1953年，Roth用Fourier分析的方法证明了第一个不平凡的情形：当k=3时，猜想是正确的[21．直到1975年，Szemerddi运用组合的方法证明了一般情形(k∈N+)下猜想的正确性，也就是著名的Szemerddi定理【3】：设k∈N+，J>0，则存在N(6，凫)∈N+，使得集合(1，2，⋯，Ⅳ】

3、．的任意一个势大于或等于6Ⅳ的子集都包含一个长为k的等差数列．这是加法组合中一个里程碑式的结论．正是由于Szemerddi定理的重要意义和其证明过程的复杂性，数学工作者们从未停止对它的研究．1977年，Fiirstenberg用遍历论给出了它的第二种证明[41，并得到了Szemerddi定理的许多自然的推广．2001年，Gowers通过组合与Fourier分析的方法得到了这个定理的最好的量化结果lsl[6]．近几年来，一些数学工作者又用其它几种方法证明了Szemergdi定理，例如V．RSdl和J．Kokan的超图正则性方法m【81，T．Tao的离散遍历论方法【91．Szemerdd

4、i定理和它的各种证明已经促进了许多其它数学分支的发展．譬如，B．Green和T．Tao利用Szemerddi定理证明了素数包含任意长度的等差数列I101．在Gowers的证明中，所谓的Gowers范数的结构[sl[61起着关键的作用，深入理解Gowers范数的寓意成为加法组合及遍历论等数学分支当前研究中的一个重要方向

5、11】1121．在与Gowers范数相关的研究工作中，Green与Tao在【1l】中提出了有限Abel群上局部与整体位相函数的概念，并描述了整体2次位相函数的结构．对于一般的整体位相函数是否存在类似的结构，这成为本文讨论的主题．2主要结果为了叙述主要结果，我t1]弓l入

6、几个定义．在本文中，G是一个有限Abel群，H是Abel群，k∈N，妒：G_日为一个映射．设z，y∈G，记(z·v)妒(y)：=妒(可+z)一妒(秒)．定义1．1称妒为整体k次位相函数，如果Vx，Xl，⋯，．Tk十l∈G，有(Xl·V)⋯(Xk+1·v)v(x)=0．定义1．2记G知：=GX⋯×G，设T：G南一H为一个映射，若比1，⋯，z凫，Y∈G，V1≤i≤k，有T(x1，⋯，甄+∥，⋯，Xk)=V(x1，⋯，既，⋯，xk)+T(xl，⋯，Y，⋯，x,J，则称T是k-线性的，记反(G，H)：={T：G8_Hl71是k．线性的)．定义1．3设T∈Lk(G，打)，记作用在集合{1，2，

7、⋯，庇}上的景换群为瓯，称T为对称的，如果Vo∈&，的1，⋯，gk∈G，有T(g，(1)，⋯，鼬(七))=T(gl，⋯，纨)，记鼠(G，H)：={丁∈Lk(G，H)IT对称)．在第2节中，我们首先分析几个特例，它们是本文的基础．整体0次与1次位相函数是比较简单的，具体地，有下面的结论；定理2．1妒是一个整体0次位相函数．兮存在h∈H，使得Vx∈G，妒(z)=h．定理2．2妒是一个整体1次位相函数．兮存在h∈H，f∈LI(G，日)，使得妒(z)=∈(z)+h，Vx∈G．整体2次位相函数的结构是Green与Tao在[11】中所做研究的主题之一，他们首先注意到一类特殊形式的整体2次位相函数

8、：引理2．2．1【1lJ假定G是有限Abel群，H是Abel群，设h∈H，∈∈L1(G，H)，M∈厶(G，H)，则妒(z)=M(z，X)+∈(z)+h是一个整体2次位相函数．Green与Tao发现当G为奇数阶的时候，G上的整体2次位相函数必具有上面的形式：2引理2．2．4111】假定G是有限Abel群，H是Abel群，(1Gl，2)=1，妒：G_日是一个整体2次位相函数，则存在h∈H，∈∈LI(G，日)，M∈S2(G，H)，使得妒(z)=M(x，z)+f(