一维无界域上薛定谔方程的有限差分方法

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1、湘潭大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇

2、编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日3第一章引言量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理学科，它的发现与建立是二十世纪人类文明发展的一个重大飞跃，引发了一系列划时代的科学发现与技术发明。薛定谔（Schrödinger）方程正是量子力学的基本方程，而无界域上依赖于时间的薛定谔型方程更是占据着极其重要的地位。例如，最简单的一维无界域上依赖于时间的薛定谔方程就反映了一个在守恒场中无旋转的粒子的运动状态，而其解的平方就表示该粒子在给定时刻出现在给定位置上的概率密度。目前，求解依赖于时间的薛定谔方程已成为模拟分子碰撞的主要手段之一。因此，研究此

3、类问题的有效数值算法具有十分重要的理论与实际意义。本文考虑如下的一维无界域上依赖于时间的薛定谔方程初值问题：11iψ(x,t)=−ψ(x,t)+V(x,t)ψ(x,t),∀(x,t)∈R×(0,T],（1.1）xx201ψ(x,0)=ψ(x),∀x∈R,（1.2）101其中i=−1，V(x,t)是数域R×(0,T]上的一个（实值）势函数，ψ(x)是R上1的初始复函数，未知函数ψ(x,t)是在R×[0,T]上的一个复函数。假设V(x,t)是在(0,1)×(0,T]以外的区域只依赖于t的函数：V(t),1≤x<+∞,0

4、0而ψ(x)是具有紧支集的函数，且0Supp{ψ}⊂(0,1).(1.4)一般来说，主要有四种方法求解无界域上的偏微分方程数值解。最简单的方法是，先从无界域截取某个有界域并在有界域上（往往凭经验）加上某种简单的边界条件，再在该有界域上求数值解。该方法要求截取的有界域足够大以便有可能得到比较精确的数值解。但大区域意味着大的计算开销，因此，该方法往往是低效的。第二种方法是无限元方法[7,23]。它可直接求解无界域上的问题，其单元节点可延伸到无穷远处。但它导致一个含有无穷多个未知数的代数系统，该系7统只能在某些特殊的情形下才能求解。第三种方法是人工边界方法，也是本文所采用的方法。它是近二十年来

5、广受欢迎的一种方法，已成功地应用于许多不同的无界域问题，包括Laplace方程[21]、线弹性和Stokes方程[22]、Ginzburg-Landau模型[10]、波导中的Helmholtz型方程[17]、热方程[41]以及其他问题[16]。此外，边界元方法也是求解无界域上偏微分方程数值解的可选方法之一[30]。目前，如何应用人工边界方法求解无界域上依赖于时间的薛定谔型方程是一个研究热点问题。为了应用人工边界方法求得满足条件(1.3)、(1.4)的初值问题（1.1）、（1.2）的数值解，我们引入两个人工边界Γ={(x,t)x=0,0≤t≤T}以及0{}1Γ1=(x,t)x=1,0≤t≤

6、T，于是区域R×[0,T]被分成三部分：Ω−={}(x,t)

7、−∞

8、1≤x≤+∞,0≤t≤T,Ω={}(x,t)

9、0

10、.2）在Ω上的限制：++1iψ(x,t)=−ψ(x,t)+V(t)ψ(x,t),,∀(x,t)∈[1,+∞)×(0,T]（1.6）txx+2ψ(x,0)=0,∀x∈[1,+∞).（1.7）当令t−i∫V+(s)ds~ψ(x,t)=e0ψ(x,t)时,（1.6）—（1.7）简化为~1~iψ(x,t)=−ψ(x,t),∀(x,t)∈[1,+∞)×(0,T],（1.8）txx28~ψ(x,0)=0,∀x∈[1,+∞),（1.9）~于是根据