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1、第31卷第3期晋中学院学报Vol.31No.32014年6月JournalofJinzhongUniversityJun.2014有限差分法求解薛定谔方程宫建平（晋中学院信息技术与工程学院，山西晋中030600）摘要：量子力学中大多数量子体系的哈密顿算符都比较复杂,所以人们提出了用有限差分法求解薛定谔方程的本征值问题,但有限差分法得到的解并非都是给定势函数下束缚态的解,本文讨论了有限差分法所有解中满足属于给定势函数下束缚态解的条件。关键词：有限差分法；本征值；波函数中图分类号：O413.1文献标志码：A文章编号：1673-1808（2014）03-0001-0
2、60引言在量子力学中,对于一些简单的量子体系,如一维无限深势阱、线性谐振子、氢原子等体系的薛定谔方程可以严格求解,得到描述体系的精确的状态波函数和能量.但大多数量子体系的哈密顿算符都比较复杂,薛定谔方程一般得不到精确的解析解，有时能级可以给出解析表达式，但却无法得到波函数的解析表达式.因此,研究和发展薛定谔方程的计算方法就具有重要的意义.由于有限差分法可以处理在几乎所有形式的势能函数中运动的粒子,并且因为计算主程序并不依赖于势能函数的具体形式，因此可以进行相对精确的计算,对于确定量子体系的束缚态能级和相应的波函数是一种非常有效的计算方法.近年来人们对有限差分法
3、求解本征值问题进行了研究[1~2],但由于有限差分法求解的边界条件是假设计算区间的端点的波函数为零,这相当于在区间端点加上一无穷高的势垒,所以解总是存在的,但这里给出的解并不一定是原来给定势下的束缚态的解.本文对这一问题进行详细的讨论.1束缚态薛定谔方程的有限差分算法根据有限差分法中的二阶微分中心差分算符可以将一维薛定谔方程写作-Rψm-1+αmψm-Rψm+1=Eψm.（1）2其中R=攸，αm=2R+V(xm)，（2）22μ(△x)当取m=0，1，2，3，…，M.并且注意到满足条件ψ0=ψM=0，则由（1）式得到一系列线性方程式，这样将本征值方程离散化为矩阵
4、方程Sψ=Eψ.（3）!α-R00…000$!ψ$11"%"%"-Rα2-R0…000%"ψ2%其中S="0-Rα-R…000%"ψ%（4）"%"%3，ψ=3………………………"%"%"0000…-RαM-2%"%"-R%"ψM-2%"0000…0-Rα%"ψ%#M-1&#M-1&［收稿日期］2014-02-17［作者简介］宫建平（1958-），男，山西榆次人，晋中学院信息技术与工程学院，教授，研究方向：凝聚态物理.·1·宫建平有限差分法求解薛定谔方程我们将相对复杂的方程就转化为矩阵S的对角化问题,利用计算机数值计算可以容易将矩阵S的本征值和本征函数同时求出.
5、我们以线性谐振子为例讨论,线性谐振子的能量本征值方程为222（5）攸dψμω22+2E-x2ψ=0.2μdx2为方便起见，引入无量纲变量ξ代替x，它们的关系是（6）ξ≡μωx≡αx，α=μω姨攸姨攸并令λ=2E（7）攸ω薛定谔方程可改写为下面无量纲的形式2-dψ+2ψ=λψ（8）ξ2dξ令,ψm=ψm(ξm)，ξm=ɑ+m△ξ，1≤m≤M，边界条件写成ξ→∞，ψ(ξ)→0（9）实际上取ψ0=ψM=0（8）式得到一系列线性方程式-+22==0，1，2，…，.（10）11+ξm2λψm2ψm-122ψm-2ψm+1mM(△ξ)(△ξ)(△ξ)其中R=1，α2+ξ2
6、，λ=2E.利用计算机数值计算容易求出（10）的本征值与相应的波函数.=2m2m攸ω(△ξ)(△ξ)2计算间隔的选择与波函数的归一化在（10）式的计算中计算间隔直接影响本征值精度，并且发现计算间隔不同时所得的波函数曲线也会发生变化.图1是在区间≤-5，≤内计算间隔分别取0.1，0.01，.005时的波函数曲线，相应的能量本征值分别为0.4997攸ω，0.5000攸ω,0.5000攸ω.如果要求精度精确到0.0001攸ω，那么计算间隔取作0.01应该能够达到要求，因为在所要求的精度内，再减小计算间隔已经不再影响能量本征值的大小.在图1中我们用点划线、虚线和点线绘
7、制计算间隔为0.1、0.01和0.05时的波函数曲线，但是从波函数曲线看，当计算间隔减小时它的形状仍然随着计算点数的增加而变化，峰图1计算间隔分别取0.1、0.01和0.005值逐渐减小.时分别用点划线、虚线和点线绘制未归一波函数随着计算点数的变化而变化，这种不确定性可通化的波函数曲线,用实线绘制的归一化波函过波函数的归一化解决，归一化系数可以利用数值积分求得.数曲线，归一化波函数的曲线重合在一起.当然数值积分不可能像解析解一样积分区间取为(-∞，∞)，但因为在计算区间之外波函数全为零，所以积分区域可以选择为(x0，xM).经过归一化后的波函数相当于在解析解中
8、确定了归一化常数，波函数应该是唯一的（
