多面体的外接球半径怎么求

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1、多面体的外接球半径怎么求？在立体几何的学习资料中，有一类问题是有关多面体的外接球的问题。这类问题综合性较强，不仅同时考查了简单多面体和球的主要性质等重点知识，而且对空间想象能力和问题化归能力有较深入的考查，所以既是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。但客观上这种组合体的图形较难画出，线面关系也比较隐蔽；主观上不少考生空间想象力较缺乏，对有关知识掌握得又不系统，找不到球心位置及球半径与其它已知量的关系，所以常常导致考生解题失败。为此下面先对有关多面体外接球的知识作一较系统的总结，然后结合历年高考题说明一些常

2、见多面体的外接球半径的求法。一．多面体的外接球的定义和性质：1.多面体的外接球的定义：如果一个多面体的所有顶点都落在同一个球面上，就说这个球是这个多面体的外接球，这个多面体则叫作这个球的内接多面体。2.多面体的外接球的性质：性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径。性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心O′与球心O的连线垂直于这个面。性质3.外接圆圆心O′到球心O的距离d、圆O′的半径r与球半径R的关系：d2+r2=R2。二．常见多面体的外接球半径的求法题型1.长方体的外接球半径的求法--

3、--利用长宽高与球半径关系求解。根据长方体的性质，长方体的对角线交于一点，且长度都相等，恰好是长方体的外接球直径，即长a、宽b、高c与外接球半径R满足关系：a2+b2+c2=4R2，利用这个公式，就可以直接求出长方体（包括正四棱柱、正方体）的外接球半径。例1.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．解：设长方体的外接球半径为R。根据长方体的性质可得：12+22+32=4R2所以此球的表面积S=4πR2=14π。题型2.其它有

4、外接球的直棱柱的外接球半径的求法------利用底面外接圆半径r、棱柱高h与外接球半径R的关系求解。有外接球的棱柱只能是直棱柱（因为棱柱的每个侧面是平行四边形，且有外接圆，所以其侧面只能是矩形）并且底面必须是有外接圆的多边形，常见的有任意三角形、等腰梯形、矩形、正多边形等。此时直棱柱的上底面和下底面平行且全等，其外接圆圆心的连线O1O2等于棱柱的高h，其中点就是球心O，所以只要求出底面外接圆半径r，即可得到球半径R：R2=r2+。例2（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六

5、棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的底面周长为3，体积为，则这个球的体积为　　　．解：此棱柱是正六棱柱，且上下底面的外接圆圆心的连线O1O2等于棱柱的高h，根据对称性，其中点就是球心O。3又底面是正六边形，边长为，所以底面积为，O1BC且底面外接圆半径r=；棱柱的高O2O1=，球半径R=OC，R2==。所以这个球的体积为题型3.正棱锥的外接球半径的求法---------利用底面外接圆半径r、棱锥高h与外接球半径R的关系求解。。正棱锥是底面为正多边形，顶点与底面中心的连线垂直与底面的特殊棱锥，所以所有正棱锥都有

6、外接球，并且外接球球心O在正棱锥顶点与底面中心的连线上。设h为正棱锥的高，r为底面外接圆半径，R为外接球半径，利用球心到各顶点距离都等于球半径的性质，就可构造出关于半径的方程：R2=r2+(h-R)2,从而求得外接球半径。例3.一个正三棱锥的底面边长为3，侧棱长4，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为解：由正弦定理，底面正三角形的外接圆直径2r=O1B=r=,侧棱长AB=2,所以棱锥的高AO1=h=设外接球半径为R,则R2=r2+(h-R)2所以，球的表面积S球=4πR2=ORSQ题型4.有一条侧棱与底面垂直的

7、棱锥的外接球半径的求法-------用补形法补成直三棱柱或长方体再用公式R2=r2+或a2+b2+c2=4R2求解。例4.（2012辽宁文16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.解：因为PA⊥平面ABCD，以正方形ABCD为底面，PA为一条侧棱作棱柱ABCD—PQRS，则此棱柱为长方体，且PC为球O的直径。3所以OA=OB==AB,所以△OAB的面积为题型5.有两个侧面是有公共斜边的直角三角形的

8、棱锥的外接球半径的求法------公共斜边就是外接球的直径。例5.在矩形中，，沿将矩形折成一个二面角，则四面体的外接球的体积为解：设AC中点为O。则由直角三角形性质知：OA=OB=OC=OD，所以O为四面体ABCD的外接球球心，且AC=5，外接球半径R=OA=，所以外接球的体积为V=题型6.每对异面的棱的长度分别相等的四面体的外接球半径的求法-----以每条棱为面对角线，