圆的切线性质定理有哪些应用

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1、圆的切线性质定理有哪些应用圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”．于是，切线具有如下性质：(1)切线与圆只有一个公共点；(2)切线与圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多．在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅

2、助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．(1)利用切线性质计算线段的长度例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．解：连接OC．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴△OPC为直角三角形．∵PC=4，r=3，∴OP=5．又OC2=OD·OP，即5·OD=9说明：遇到切点，连半径是圆中常用添线的方法．(2)利用切线性质计算角的度数例2：如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与

3、AE的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．解：连接OC,∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.又AF⊥CD,∴AF∥OC,∴∠A=∠BOC．而OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴AF=BF，∴∠A=∠B，∴∠BOC=∠B=∠OCB，∴∠B=60°，则∠A=60°(3)利用切线性质证明角相等例3：如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．证明：连接BD、CD．∵MN是⊙O的切线，∴AB⊥MN，又AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴在Rt△ABN中，BD⊥AN于D．∴∠N=∠ABD=∠AC

4、D∴C、M、N、D四点共圆，则∠MCN=∠MDN．说明：利用四点共圆，也是证明两角相等的方法之一．(4)利用切线性质证线段相等例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．证明连接OD．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA=90°．又CO⊥AB，∴∠A＋∠AEO=90°．∵AO=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO=∠CED．则CD=CE．(5)利用切线性质证两直线垂直例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：D

5、E⊥AC．证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线．∴OD⊥DE，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB．∴OD∥AC，则DE⊥AC．