2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质（第2课时）椭圆简单性质的应用学案

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1、第2课时　椭圆简单性质的应用学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一　点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．知识点三

2、　弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝，∴

5、AB

6、＝＝＝，或

7、AB

8、＝＝＝.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　√　)2．在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小．(　√　)3．在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直

9、时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长．(　√　)4．设A是椭圆内一点，以A为中点的弦是唯一的．(　×　)5．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)题型一　直线与椭圆的位置关系例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．考点　题点　解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

10、程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．反思感悟　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．跟踪训练1　若直

11、线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为________．考点　题点　答案　[1,5)解析　∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m<5.题型二　直线与椭圆的相交弦问题例2　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即

12、y＝x.由消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是

13、AB

14、＝＝＝＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．所以直线l的斜率存在．设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y，得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋64k2－64k－20＝0.显然，Δ>0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y－2＝－(x－4

15、)，即x＋2y－8＝0.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＋＝0，整理得kAB＝＝－，由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－＝－，于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.反思感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－

16、1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若

17、AB

18、＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代