Zm上的差基与双基

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1、南京师范人学硕Jj学位论文中文摘要用N表示所有非负整数所成的集合．对于A∈N，定义GA(n)=4{(o，b)：a，b∈A，a+b=亿)．若对任意非负整数n，均有GA(n)≥1，则称A为N的二阶加法基．EErd6s和RTurfin于1941年提出如下著名猜想：对于N的任何二阶加法基A，总有口A(佗)无界．1990年ImreZ．Ruzsa构造了N的一个二阶加法基A，使得，在二次平均的意义上，oA(n)是有界的．2006年陈永高教授和汤敏将EErd6s猜想中的N换成Zm(其中仇为正整数)，他们证明了：对充分大的正整数m，总存在Z仇的加法基A，使得盯A

2、(佗)≤768．2007年，他们又证明了：对任意的正整数m，总存在Zm的加法基A，使得盯A(n)≤5120．2008年，陈永高教授将5120改进为288．如果Zm中的任一剩余类均可表示成A中两个元素之差，则称A为Z。的一个差基；如果Zm中的任一剩余类既可表示成A中两个元素之差，又可表示成A1：t4两个元素之和，则称A为Zm的一个双基．对于AgZm，佗∈Zm，定义aA(n)=6．[(o，b)：a，b∈A，a+b=n)，6A(佗)=8．[(o，b)：o，6∈A，a—b=n)本文的主要结果如下(已发表于JournalofNumberTheory130

3、，3(2010)，716—726)：1．对任意的正整数m，总存在Zm的一个差基A，使得Z。的剩余类中除至多3个例外，对于其余的n∈zm，均有3A(n)≤7．2．对任意的正整数m，总存在z仇的一个双基A，使得Zm的剩余类中除至多3个例外，对于其余的n∈zm，均有GA(n)≤26，5A(n)≤24．南京师范人学硕士学位论文关键词：加法基；差基；双基；表示函数：Erd6s．Turfin猜想；Singer定理．—-In—南京师范大学硕上学位论义AbstractLetNbethesetofallnonnegativeintegers．ForA∈N，def

4、ineaA(n)=4<(n，b)：a，b∈A，a+b=几)．Aiscalledabasisoforder2ofNifCrA(n)≥1forall礼∈N．In1941，EErd6sandRTur￡inposedthefollowingfamousconjecture：foranybasisAoforder2ofN，crA(n)isunbounded．In1990，ImreZ．RuzsaconstructedabasisAoforder2ofNforwhichthenumberofrepresentations凡=a+a7，a，a7∈Aisboun

5、dedinthesquaremean．In2006，Yong—GaoChenandMinTangconsideredthesimilarproblemreplacedNbyZminErd6sconjecture．Theyobtainedthefollowingresult：forallsufficientlylargeintegersm，thereexistsabasisAofordertwoinZmsuchthatcrA(n)≤768．In2007，theyprovedthatforallpositiveintegersm，thereexis

6、tsabasisAofordertwoinZmsuchthatCrA(n)≤5120．In2008，Yong—GaoChenimproved5120tO288．ForA∈Zm，仡∈Zm，letO'A(n)=l{(o，b)：a，b∈A，a+b=n)，以(n)=8．[(口，b)：a，b∈A，a—b=n)．AiscalledadifferencebasisofZmif5An)≥1forall几∈Zm．Aiscalledabi—basisofZmif6A(佗)≥1andCrA(n)≥1forall佗∈Zm。Inthisdissertation，them

7、ainresultsareasfollows(seeJournalofNumber—IVL．南京师范人学硕上学位论文Theory130，3(2010)，716-726)：1．Foreachpositiveintegerm，thereexistsadifferencebasisAofZmsuchthat6A(n)≤7forall佗∈Zmwithatmost3exceptions．2．Foreachpositiveintegerm，thereexistsabi—basisA7ofZmsuchthatO"A，(n)≤26，以，(佗)≤24forall

8、死∈zmwithatmost3exceptions．KeyWords：Additivebasis；Differencebasis；Bi．-basis；