R_27N_上一类p（x）-Laplacian方程的正解

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2、文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰卅I大学。保密论文在解密后应遵守此规定。论文作者签名：导师签名：遴日期：兰!!z：!：!J，兰州大学2007届硕士学位论文第1章引言微分方程与物理世界的联系很密切，许多实际中出现的问题都转化为方程问题的研究．变指数问题

3、是对传统的常指数问题的一种推广．其与实际中的许多问题有较深的联系．例如非线性弹性力学中具非标准增长条件的积分泛函，见Zbj】∞v【26】；电流变流体模型，见鼬獬h[211；图像恢复模型，见叻en，Levino和Rao【3】。变指数问题于90年代兴起，第一篇系统地研究这些变指数空间的文章出现于1991年，作者为Kovfi3ik和Ra'kosnik【17]．现在有关变指数的问题受到了越来越多的人的关注．有三篇综述性文章，分别是：．1-la_,julehto和Hiisti}【15]，Diening，Hjis晒和

4、Nekvindat41，以及Samko[231．作为这一理论基础的变指数Lobosguo空间谢妨(Q)和Sobokv空间w‘“2)(Q)的理论最近被很多作者进行了深入的发展．这些空间是相应经典的Lebesgue空问∥(Q)：稗lSobolev空间w如(Q)的自然推广．本文中，我们考虑在耐7上，如下的非线性pp)一Laplaci锄方程．一△P(而t‘=A(￡)萝似)in掣’(1n1)其中A∈C(Rjv)，A≥0；g∈c((0，oo))，g≥0为局部H6ldc涟续函数．其中，p(功为径向对称H研de涟续函数，

5、即p(功=p(㈦)=p(r)，1<矿≤p(1霉1)5p+<00．；￡中矿=sIlpp(z)，P一=infp(z)．在本文中，我们主要考虑上述方程具有性质limI。l～Ⅱ0)=正常数的解的存在性。我们讨论的解是在空问咄姊(RⅣ)中的解。其中解的含义是抵∈皑却(RⅣ)，w∈叼掣)，有，／I乳P-2VuV妒=／A@扫(t‘)妒．JllⅣ，P对于此类问题，因为考虑的是到”上的非线性方程，所考虑的解札仕)具有性质Hml。t--．oot‘(妨=正常数．即并非。边值的解，因而不能使用空间Ⅳ1巾忙)(耐7)。因此我们在空

6、间w拶。’(RⅣ)中去考虑解的存在性。这样，因为空间w罂‘动(日【Ⅳ)≠W1，p∽(豫Ⅳ)，同样咄砷(RⅣ)≠91荆(Ⅱ巳Ⅳ)。在空兰州大学2007届硕士学位论文问咄砷(RⅣ)中无法定义范数，这样就造成用一般的变分法就无法对问题进行处理．因此本文采用上下解方法对方程进行处理．我们有主要结果如下：定理1．1．设p(z)在RⅣ上局部Hmde琏续，男设天(妨=maxI。两A◇)=天(r)，r=f眯广1天∞删南dr<∞另外设，。一恤掣【宰乏蚴，lim唧【车掣】}<昙(1．o．2)参_o+‘Z--心-t-‘或，一{

7、罂【李蛆粤【雩‰<吾(1．们)或者存在口∈(o'∞)满足一唑攀【《掣】，唑笋【专≥】)<；(1．o．4)或，。一{鼍罗【雩掣】'鼍罗【雩掣】)<；(1．o．5)那么，方程1．0．I有无数多个正的，有界的解，并且每一个正解在无穷远处收敛蓟～个正常数．而且这些解有一个共同的正下界。本文的主要结论是对论文H．H．Liu和N．Su[【16】】的结论的推广，在那里，文章讨论了常数p的结论，而本文把这些结论推广到p(z)变指数的情形．p(z)-Laphciang子eP；黾div(IVulg=)～vu)，其是p-Iap

8、laci柚算子的推广，但二者有很大区别．p(z)-Iaplaci觚算子比p-Laplacian算子具有更复杂的非线性性质，而且在一般情况下，它不是齐次的．这样，本文所处理的问题就会出现～些不同于p常数情形的新的困难．本文涉及到无界域上用上下解方法去研究方程(1．0．1)的解．我们首先考虑的问题是在径向对称条件下'即A(z)=A(H)=A(r)时，方程(1．0．1)的径向对2兰州大学2007届硕士学位论文称解，即Ⅱ(z)=缸(⋯