高考数学复习第三章三角函数、解三角形课下层级训练21简单三角恒等变换文新人教a版

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1、课下层级训练(二十一)　简单三角恒等变换[A级　基础强化训练]1．(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是(　　)A．　　　　　　　　　　　B．1＋C．2D．2(tan18°＋tan27°)C　[原式＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan18°tan27°＋tan45°(1－tan18°tan27°)＝2.]2．(2019·山东重点中学模拟)已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　)A．　　　　B．－　　　C．　　　　D．－B　[∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴∈，∴cos＝－＝－＝－.]3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周

2、期为(　　)A．B．C．πD．2πC　[由已知得f(x)＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.]4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3B　[∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.]5．(2019·吉林通化联考)已知函数f(x)＝＋asincos的最大值为2，则常数a的值

3、为(　　)A．B．－C．±D．±C　[因为f(x)＝－asinx＝(cosx－asinx)＝cos(x＋φ)(其中tanφ＝a)，所以＝2，解得a＝±.]6．已知tan(3π－x)＝2，则＝__________.－3　[由诱导公式得tan(3π－x)＝－tanx＝2，故＝＝＝－3.]7．在△ABC中，若(tanB＋tanC)＝tanB·tanC－1，则sin2A＝__________.　[由两角和的正切公式知tan(B＋C)＝＝＝－，所以tanA＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin2A＝.]8．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝，则sinA＝__________.　[∵si

4、n(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，∵sinB＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos2A＝，即1－2sin2A＝，∴sinA＝.]9．设cosα＝－，tanβ＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．解　由cosα＝－，π<α<，得sinα＝－，tanα＝2，又tanβ＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.又由π<α<，0<β<，可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.10．已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解　(1)∵coscos＝cossin＝sin＝－，∴sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，

5、∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)∵α∈，∴2α∈.又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝－＝－2×＝2.[B级　能力提升训练]11．函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)A．5B．C．D．2B　[由题意知f(x)＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝.]12．已知x∈(0，π)，sin＝cos2，则tanx＝(　　)A．B．－2C．D．D　[由已知，得sincosx－cossinx＝，即cosx－sinx＝－sinx＋，所以cosx＝.因为x∈(0，π)，所以tanx＝.]13．(2018·山东济

6、南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则＝__________.2　[由题意得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，则＝＝＝＝2.]14．在斜△ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为__________.　[由已知sin(B＋C)＝－cosBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝－cosBcosC，∴tanB＋tanC＝－，又tanB·tanC＝1－，∴tan(B＋C)＝＝－1，∴tanA＝1，又0

7、<π，∴A＝.]15．已知函数f(x)＝(cos2x－sin2x)＋2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递减区间．解　(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π，∴－≤sin≤1.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴≤x≤.∴x∈时，f(x)的值域为[－，2]