高考数学复习平面解析几何第76练高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系练习

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1、第76练高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系[基础保分练]1.(2019·金华十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若O为坐标原点，P为直线l：x＝2上的一动点，过点P作直线l′与椭圆相切于点A，若△POA的面积S为，求直线l′的方程.2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出

2、直线l的方程；若不存在，请说明理由.3.(2019·温州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1y2＝－4.(1)求抛物线方程；(2)点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.[能力提升练]4.已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向

3、.(1)求C2的方程；(2)若

4、AC

5、＝

6、BD

7、，求直线l的斜率.答案精析基础保分练1．解　(1)由题意得2c＝2，∴c＝1.∵椭圆C过点Q，∴＋＝1.∵c2＝a2－b2，解得a2＝2，b2＝1.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x0，y0)，当x0＝0时，y0＝±1，S△POA≠，当x0≠0时，切线l′的方程为＋yy0＝1，即y＝－x，则直线l′与x轴交于点B，∵P，∴S△POA＝··＝，即＝，∴＝±，即或解得x0＝1，y0＝－或x0＝1，y0＝(x0＝0，y0＝±1不合题意舍)，∴直线l′的方程为

8、x＋y－2＝0或x－y－2＝0.2．解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.又由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.因为－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.3．解　(1)依题意F，当直线AB的斜率不存在时，

9、y1

10、＝

11、y2

12、＝2，

13、A

14、B

15、＝2p＝4，解得p＝2；当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y＝k，由化简得y2－y－p2＝0，由y1y2＝－4得p2＝4，解得p＝2(舍负)，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)设D(x0，y0)，B，则E(－1，t)，由y1y2＝－4，可得A，因为kEF＝－，AD⊥EF，所以kAD＝，故直线AD：y＋＝，即2x－ty－4－＝0.由化简得y2－2ty－8－＝0，所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－.所以

16、AD

17、＝

18、y1－y0

19、＝·＝·，设点B到直线AD的距离为d，则d＝＝，所以S△ABD＝

20、AD

21、·d＝≥

22、16，当且仅当t4＝16，即t＝±2时，等号成立，所以△ABD面积的最小值为16.当t＝2时，直线AD的方程为x－y－3＝0；当t＝－2时，直线AD的方程为x＋y－3＝0.能力提升练4．解　(1)由C1：x2＝4y知，其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，

23、B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．因为与同向，且

24、AC

25、＝

26、BD

27、，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k

28、2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.