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1、公司的销售额预测一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)年季公司销售额行业销售额年季公司销售额行业销售额19771120.96127.3197931124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.98160.73723.48141.21981117
2、27.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7表1公司的公司销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型.二、问题分析与假设销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产
3、品销售收入的预测值.表114的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.定义与符号说明行业销售额公司销售额公司销售额的估计值三、模型建立与求解一、基本统计回归模型建立以行业销售额为自变量、以公司销售额为因变量的散点图,其中图1对的散点图从图1可以看出,随着行
4、业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型,为随机误差假设与是相互独立的,且服从均值为零的正态分布.由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.14参数参数估计值置信区间-1.45475[-1.90465-1.00485]0.176283[0.1732480.179318]表2模型的计算结果将参数估计值代入得到,由表2知,几乎处处可由确定.用作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2.图2回归分析中的交
5、互式画面二、自相关性的判别我们可以看到模型的拟合度很高(),即可认为可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对独立的基本假设.现在我们考虑如下模型：其中是自相关系数,,相互独立且服从均值为0的正态分布.模型中,若,则退化为普通的回归模型;若,则随机误差存在正的自相关;若,则随机误差存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型得到的残差,计算统
6、计量如下：14其中是观察值个数,残差为随机误差项的估计值.当较大时,而式的右端正是自相关系数的估计值,于是由于,所以,并且若在0附近时,则在2附近,的自相关性很弱(或不存在自相关性);若在附近时,则在0或4附近,的自相关性很强.要根据的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样本容量和回归变量数目,查分布表,得到检验的临界和,然后由表3中所在的区间来决定.2正自相关不能确定无自相关不能确定负自相关表3与值相对应的自相关状态三、加入自相关后的模型根据式可计算出,对于显著性水平,查分布表,得到检验的临界值和,现在,由表3可以认为随机误差存在正自相关,且的估计值可
7、由式得.作变换,,,则模型化为,其中,以的估计值代入式作变换,利用变换后的数据、估计模型的参数,得到的结果见表4,可以得到其剩余标准差为0.067.变换变量和回归系数估计回归系数置信区间[-0.74396-0.03887][0.167480.18000]表4模型的计算结果对模型也做一次自相关检验,即诊断随机误差是否还存在自相关,从模型14的残差可计算出,对于显著性水平以及时,检验的临界值为,故,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换得到的回归模型是适用的.最后,将模型中的和还原为原始变量和,得到结
