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《代数学基础群和子群的基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、代数学基础内容提要群环和域有限域群一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。定义群的定义.注意：有限群和无限群：如果集合G中的元素个数有限，就称群G为有限群；否则称为无限群。阿贝尔群阿贝尔群又称交换群（commutativegroup)，本章中出现的所有群都是指交换群。举例下面，我们给出群的一些具体例子。群的例子（1）整数集Z在加法下构成群，记为(Z,+).(Z,+)是一个无限群、阿贝尔群。有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。群的例子（2）Q、R和C中的非零元素在
2、乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。这三个群的完整表示是(Q*,,(R*,,(C*,。将这些群称为乘法群。群的例子（3）对任意自然数n,整数模n集合构成一个包含n个元素的有限加法群，这里的加法运算是模n加，将这个群记为Zn。这个群的完整表示为（Zn，+(modn)）.注意:Zn是Z/nZ的简化表示。群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12,将（Z12,+(mod12))称为时钟群。群的例子（5）Zn={0,1,2,…,(n-1)}Zn中所有与n互素的的元素是Zn的一个子集,这个子集按照模n乘法运算构成一个群，用Zn*表示。例如，(Z15*,(
3、mod15))=({1,2,4,7,8,11,13,14},(mod15))群的例子（6）集合B={0,1}，在异或运算下形成群。群的例子（7）x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。x=1是方程的一个解，该方程有三个根。用u和v表示其它两个根。由于x3-1=(x-1)(x2+x+1)则u和v是x2+x+1=0的两个根。由二次方程根与系数的关系，u和v互逆。封闭性:(x2)3–1=0。群的例子(8)置换群S={1,2,…,n}Sn是S上所有置换构成的集合
4、Sn
5、=n!α,β是Sn中置换,αβ表示α和β的复合,即αβ(x)=α(β(x))Sn构成群,称为n阶对称群.置换的
6、表示α=β=αβ=(1234)(56)α=β=(132)(1432)αβ=(1423)重复群运算的简化表示群的性质子群子群对于群G的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条：封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素子群的例子（1）在加法运算下，ZQRC.注意，在这个例子中：子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致子群的例子（2）全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是（1）中所有群的子群。子群的例子（3）在乘法运算下，Q*R*C*。子群的例子（4）子群的例子（5）B={0,1}在异或运算下是一
7、个群。{0}是B的一个真子群{1}不是B的子群子群的例子（6）设G是一个群，e是它的单位元{e}和G是群G的两个平凡子群。群的阶有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.#Zn=nB={0,1}按照异或运算，#B=2#Roots(x3-1)=3子群中的单位元在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！事实上，对任意子群都有这样的结论成立：证明:设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G中的单位元为eG。那么，在H中，有eH。eH=eH；在G中，有eH。eG=eH。从而可得到eH=eG。子群中的逆元素由于eH=eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。子群的
8、判别(1)子群的判别方法：子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充要条件是对任意的元素x,yH,有xy-1H.子群的判别(3)当H是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：拉格朗日定理陪集（Coset）的定义拉格朗日定理：商群的概念注:此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：商群的例子(1)设n>0是一个整数，在加法运算下，集合nZ={0,n,-n,2n,-2n,…}是Z的一个子群，那么商群Z/nZ={x+nZ
9、x为任一整数}有n个元素，即Z/nZ={0+nZ,1+nZ,…,n-1+n
10、Z}可以看出Z/nZ=Zn事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便，用Zn代替Z/nZ。商群的阶商群的例子(2)群元素的阶注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn=e成立，则必有ord(g)
11、n，即n一定是ord(g)的倍数。例子（1）在时钟群Z12中：12是满足112=0(mod12)的最小正整数，所有ord(1)=12；类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3，ord（5）=12。例子（2）{0,1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=1,ord(1)=2.例子（3
