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1、数学分析4测试题1参考答案一真空题（每小题4分，共28分）1ppq--111.òx(1-x)dx,pq>>0,0,.0sinppx-3yz--212.6(x-3)+8(yz-2)+6(-=1)0,(即3x+4yz+=320);==;3433y933.ò03dyòyyf(x,y)dx+òòdyf(x,)ydx4.8;5.4.331132236.x+xy-xy-+yC7.833二、计算题(每小题9分,共54分)ìf(x,y)=cosx+cos(xy+=)0x1.由í,求得稳定点(2mnp++p,2)pp,f(x,y)=cosy+cos(xy+=)0îypppp(2mnpp++,2),(2m
2、npp--,2).在点(2mnp++p,2)pp处,33332D=ACB-=0,f=0,而在这种点附近f可正可负,故不是极值点.而在点pp93(2mnpp++,2)处,AD=-3<0,0=>,故f有极大值3.在点3342pp93(2mnpp--,2)处,AD=3>0,0=>,故f有极小值-3.3342221-y2.(1)òòf(x,y)dxdy=òò2dyf(x,)ydx0yD22xx11-=+2dxf(x,y)dydxf(x,)ydy。ò0ò00òò222113--2y1xx3(3)(2)òdyòf(x,y)dx=+òdxòf(x,y)dyòòdx2f(x,)ydy.0y001022
3、3.V在xz平面上的投影D:1xz+£,V的边界曲面左右两部分方程分别为:xz22y=-11-x-=zy及,故111-x222原积分=y11-xdxdydz=-xdxdzydyòòòò-1òò-11-x2---xz22V21211-x122æö1124228=1-xdx()x+zdz=ç÷+x-=xdxò-1òò-11--x2233345èø12¶P¶¶QR4.P=x,Q=0,R=z+2yx,=2,==0,1.所以¶x¶¶yz32-y22ÒòòSxdxdy+(z+2y)dxdy=-òòò(2x+1)ds=-+òòòdxdy0(2x1)dzWDxy322=-(2x+-1)()ydxdy,
4、其中D:1xy+£.由D的对称性及被积函数的奇òòxyxy2Dxy33偶性,有òòxdxdy=òòydxdy==òòxydxdy0,所以原积分=-òòdxdy=-p.22DxyDDxyxyDxy25.由y==82x与yx求出交点(0,0)和(2,4),所以y244æöyyysinxdxdy=ydy2sinxdxy=ç÷cos-cos=4--4sin24cos2òòòòò200y82D8èø6.因为原点是奇点,所以以原点为心、充分小的e>0为半径作一小圆,设其圆周为L,则有xdy--ydxxdyydx=0,2从而=-=pÑòC+LLx2++y2ÑÑòòCxy22三、证明题(每小题9分,共
5、18分)1.因为z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,所以必有最大值、最小值，尚若f在22æö¶¶zzD中某内点P(xy,)处取得最大值或最小值，而由题设知,ç÷+=D,00022èø¶¶xyP0222éù¶2¶¶22æö¶z¶¶zzzzz¹0,这时有×£0,故êú×-<ç÷0,这与极值点条2222¶¶xy¶¶xyëû¶x¶xèø¶¶xyP0P0P0件矛盾.因此最大值、最小值只能在D的边界上取得.22-+()xy2.设S=[0,a]´=[0,a],则f(x,y),eS在上可积且aa222a2aa22-()x+y-x--yxF()a=òòedxdy==ò0edxòò00edy(edx)S
6、a1作半径为a和2a的圆和DD,它们分别含于S和包含S.故有12aa4222222-(x+y)-(x+y)-+()xyH()a=òòedxdy=£òòedxdyòòedxdyD12SDap-()x2+y22a--ra22pp-2a2而H(a)=òòedxdy=òòdqerdre=-(1),G(ae)=-(1),且0044D12ppplimH(a)==limGa(),故limFa()=,所以原积分收敛于.aa®+¥®+¥4a®+¥42数学分析4测试题2参考答案一、填空题(每小题4分,共28分)+¥sx--11.òxedx,s>0,s(s--1)L(sn);0121x-4yz--322.(
7、x-4)+(yz-3)-(-=2)0(即3x+4yz-=318),==;232343-4y8423.ò04dyòyyf(x,y)dx+òòdyf(x,)ydx.4.2;5.rsinf;2226.x-+xcosyC;7.8.二、计算题(每小题9分,共54分)1.以球心为原点、半球底面为xy平面建立直角坐标系oxyz.设所求的长方体的长、宽、高分别为2x,2y,z,则它的体积为V=4xyz,0<
