数学分析(三)试卷4

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1、数学分析（三）试卷4及答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．叙述第二类曲线积分的定义。2．叙述Parseval等式的内容。3．叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数﹑Fourier级数及其收敛定理。二计算题（每小题10分，共50分）1．求，此处为联结三点的直线段。2．计算二重积分。其中是以和为边的平行四边形。3．一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。4．计算三重积分。其中是椭球体。5．计算含参变量积分的值。三讨论题（每小题10分，共20分）1．已知，试确定二阶偏导数

2、与的关系。2．讨论积分的敛散性。答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设=++是定义在上的向量值函数，则称为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。2．函数在可积且平方可积，则成立等式。1．若是以为周期且在上可积的函数，则称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数称为函数的Fourier级数，记为。收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。（1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函

3、数之和。（2）在处满足指数为的Holder条件。二计算题（每小题10分，共50分）1。解。在直线段上得在直线段上得在直线段上得所以。2．解.3．解由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有由此解得于是有并且易知它是极小值点.4．解由于，其中，这里表示椭球面或。它的面积为。于是。同理可得，。所以。5．计算含参变量积分的值。解因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得。从而得。三讨论题（每小题10分，共20分）1．当时，。，，，，于是，当时，。当时，。2．首先注意到。若

4、，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有常数，故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。