数学分析(三)试卷3

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1、数学分析（三）试卷3及答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．叙述第一类曲面积分的概念。2．叙述Stokes公式的内容。3．叙述Dirichlet引理及其等价形式。二讨论题（每小题10分，共20分）1．讨论函数在任意有界闭区域上的可积性。2．试确定函数的连续范围。三计算题（每小题10分，共30分）1．设四边形各边长为定值（分别为），求其最大面积，并且指出此时四边形的几何特性。2．求球面在圆柱外那部分曲面的面积。3．将下列函数展开成Fourier级数并利用其展开式求四证明题（每小题10分，共20分）1．若1）积分收敛，2）函数有界，并且关于是单调的，则积分

2、一致收敛。2．设有半径为的球面，其球冠的高为，证明球冠的面积.答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设曲面为有界光滑（或分片光滑）曲面，函数在上有界。将曲面用一个光滑曲线网分成片小曲面，并记为的面积。在每片上任取一点，作和式。如果当所有的小曲面的最大直径为趋于零时，这个和式的极限存在，且与小曲面的分法和点的取法无关，则称此极限值为在曲面上的第一类曲面积分，记为。2．设是光滑曲面，其边界为分段光滑闭曲线。若函数，和在其边界上上具有连续偏导数。则成立，其中取诱导正向。3．设函数在单调，则成立。等价形式：=。二讨论题（每小题10分，共20分）1．首先，函数在

3、任意有界闭区域上是不可积的。下面证明这一点任给区域的分割，将分成个小区域：，设它们的面积分别是：.在小区域上任取一点.若与都是有理数，有，则积分和.其中是区域的面积.若与至少有一个是无理数，有，则积分和，因而，当时，积分和不存在极限，即函数在任意有界闭区域上是不可积的.2．注意到可能为奇点，将积分写成。因为当时~,所以只有当即时才收敛；而显然只有当时才收敛。所以的定义域为。现在说明在其定义域上连续。为此只要说明在任意闭区间上，连续即可。对任意闭区间，由于，且收敛。因此由Weierstrass判别法，关于一致收敛，因此被积函数在上的连续性知，在上连续。由于，

4、且收敛，所以由Weierstrass判别法，关于一致收敛，因此被积函数在上的连续性知，在上连续。综上所述，在其定义域上连续。三计算题（每小题10分，共30分）1．设则有因而于是，此时得最大面积是并且四边形为圆的内接四边形.2．已知球面表面积为，设该球面在一个圆柱内的表面积为，则所求球面面积为.而因此.3．易知函数是按段光滑的，因此可以展开成Fourier级数，计算Fourier级数如下：所以当时，当时，由于所以当或时，由于所以于是即四证明题（每小题10分，共20分）1．证明设则由1）知：对任给，总存在数，使得当时，就有而所以积分在对应的域内一致收敛.2.证

5、明设球面的方程是于是，球冠的面积这里设则有.