《统计量的分布》PPT课件

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统计量的分布 统计量是样本的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量统计量的分布称为抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布.由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用. 正态总体样本均值的分布设总体，是的一个样本,则样本均值服从正态分布U—分布 概率分布的分位数(分位点)使P{X≥x}=，定义对总体X和给定的(0<<1)，若存在x，则称x为X分布的上侧分位数或上侧临界值.如图.xoyxP{X≥x}=若存在数1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}则称1、2为X分布的双侧分位数或双侧临界值.oyx21 双侧分位数或双侧临界值的特例当X的分布关于y轴对称时，则称为X分布的双侧分位数或双侧临界值.如图.若存在使yxO U—分布的上侧分位数对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定的，上侧分位数是由：P{U≥u}=即P{U30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.t分布的数学期望与方差（补充）设T～t(n)，则E(T)=0，D(T)= 定理5.2设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则统计量证由于与S2相互独立，且由定义5.4得 定理5.3设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量其中、分别为两总体的样本方差.(证略). t分布的上分位数对于给定的(0<<1)，称满足条件的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-7.f(t)tOt(n)图5-7 t分布的双侧分位数由于t分布的对称性，称满足条件的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，其几何意义如图5-8所示.f(t)tOt/2(n)/2/2-t/2(n)图5-8 在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表.例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.即t(n)≈u，n>45.一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n>30就用标准正态分布N(0,1)来近似. 四、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5设随机变量X～2(n1)、Y～2(n2)，且与相互独立，则称随机变量记作F～F(n1，n2).概率密度函数其中其图形见图5-9.(P108) 性质：若X～F(n1，n2)，则～F(n2，n1).F分布的上分位数对于给定的(0<<1)，称满足条件的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义如图5-7所示.f(y)xO图5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度. F分布的上分位数F(n1,n2)的值可由F分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分=0.1、=0.05、=0.01给出了F分布的上分位数.当时n1=2,n2=18时，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的值都比较小，当较大时，可用下面公式查表时应先找到相应的值的表.例如，≈0.166 F分布的双侧分位数称满足条件为F分布的双侧分位数的或双侧临界值.见图.显然，为F分布的上分位数；为F分布的上分位数；图6-4f(y)xO/2/2 定理5.4为正态总体的样本容量和样本方差；设为正态总体的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量证明由已知条件知且相互独立，由F分布的定义有 小结几种常用分布的定义 正态总体样本均值的分布设总体，是的一个样本,则样本均值服从正态分布U—分布 ——分布定义设总体，是的一个样本,则称统计量服从自由度为n的分布，记作自由度是指独立随机变量的个数，n个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度为n的分布 t—分布定义5.4设随机变量X～N(0，1)，Y～2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布或学生氏分布，记作T～t(n).t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数.当n较大时，t分布近似于标准正态分布. F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5设随机变量X～2(n1)、Y～2(n2)，且与相互独立，则称随机变量记作F～F(n1，n2). 例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？解(1)因为Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2). 例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？续解(2)因为X1～N(0,1)，故～t(n-1). 例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？续解(3)因为所以～F(3，n-3). 例2若T～t(n)，问T2服从什么分布？解因为T～t(n)，可以认为其中U～N(0,1)，V～2(n)，U2～2(1)，～F(1,n). 例3设总体X～N(,42)，X1，X2，…，X10是n=10简单随机样本，S2为样本方差，已知P{S2>}=0.1,求.解因为n=10，n-1=9，2=42，所以～2(9).又P{S2>}==0.1，所以≈查表14.684.故≈14.684x≈26.105 作业1.习题五：第5、7、8题.2.复习；3.预习：参数的点估计(样本数字特征法、矩法估计、估计量的评选标准)