中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(6)-圆外一点引圆的切线和直径的垂线

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1、圆压轴题八大模型题（六）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5圆外一点引圆的切线和直径的垂线如图，点P是⊙O外的一点，过点P作PA与⊙O相切于点A，PO⊥BO于点O，交AB于点C.(1)求证：CP＝AP；(2)延长BO交⊙O于点D，连结AD，过点P作PE⊥AB于点E，找出与△BOC相似

2、的三角形.图2图1(3)若⊙O的半径为，OC＝1，求PA的长.图3【分析】(1)如图3连接OA得OA＝OB,∴∠OAB＝∠B,由等角的余角相等得∠PCA＝∠PAC,∴PC＝PA.(2)由∠APE＝∠CPE＝∠B得：△BOC∽△BAD∽△PCE≌△PAE.(3)在Rt△OPA中，设PC＝PA＝x，则有（x＋1）2＝1＋x2.解得PA＝x＝2.基本图形及其变式图图(2)图(1)1.如图1~6，PA与圆O相切于点A，PD⊥BO（或BO的延长线）于点D，直线AB与PD相交于点C，求证：PA＝PC.图(3)图(6)图(5)图(4)【典例】（2018×湖北随州）如图，AB是⊙O

3、的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD＝MC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；图6-1（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，图a∴MD＝MC；（2）由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴

4、BC＝，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD＝2.5，设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x＋2.5）2＝x2＋52，解得：x＝，即MC＝．【点拨】连半径，造等腰三角形，借等角的余角相等再证边等。由切线的性质、直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形三线合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形，运用比例线段、勾股定理和相似三角形面积关系解决问题.【变式运用】1．(2018×江苏连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝___44°___．图6

5、-2图6-32.（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE＝DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝，求DE的长．证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠AEO＝∠DCE，∴∠OCE＋∠DCE＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切线．（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH＝∠A，∵DE＝DC，∴EH＝HC＝EC，∵⊙O的半径为5，BC＝，

6、∴AB＝10，AC＝3，图b∵△AEO∽△ABC，∴，∴AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝，∴EH＝EC＝，∵∠EDH＝∠A，∴sin∠A＝sin∠EDH，∴，∴DE＝＝3.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙A相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC＝2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.解：（1）AB＝AC．理由如下：如图c，连接OB，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠

7、OAC＝90°，图6-4∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠CPA＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB．∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC．（2）如图d，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA＝5得，OP＝OB＝r，PA＝5－r．又∵PC＝2，∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2，图cAC2＝PC2－PA2＝（2）2－（5－r）2，∵由（1）知AC＝AB，∴52－r2＝（2）2－（5－r）2，解得：r＝3，即⊙O的半径是3；∴AB＝AC＝4.∵PD是直径，∴∠PBD＝90°＝∠PAC.∵∠DPB＝∠CPA,∴△D